Limiti

Proprietà dei limiti

 

Se $lim_{x o x_0} f(x) = l_1 in mathbb{R}$ e $lim_{x o x_0} g(x) = l_2 in mathbb{R}$, allora
$lim_{x o x_0} c cdot f(x) = c cdot l_1$, per ogni $c in mathbb{R}$
$lim_{x o x_0} f(x) + g(x) = l_1 + l_2$
$lim_{x o x_0} f(x) – g(x) = l_1 – l_2$
$lim_{x o x_0} f(x) cdot g(x) = l_1 cdot l_2$
$lim_{x o x_0} frac{1}{f(x)} = frac{1}{l_1}$, se $l_1
e 0$
$lim_{x o x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{l_1}{l_2}$, se $l_2
e 0$
Se $lim_{x o x_0} f(x) = l in mathbb{R}$ e $lim_{x o x_0} g(x) = pminfty$, allora
$lim_{x o x_0} f(x) + g(x) = pminfty$
$lim_{x o x_0} f(x) – g(x) = mpinfty$
Se $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} g(x) = pm infty$, allora
$lim_{x o x_0} f(x) + g(x) = pm infty$
$lim_{x o x_0} f(x) cdot g(x) = +infty$
Se $lim_{x o x_0} f(x) = l in mathbb{R} setminus {0}$ e $lim_{x o x_0} g(x) = pm infty$, allora
$lim_{x o x_0} f(x) cdot g(x) = {(pm infty, " se "l > 0),(mp infty, " se " l < 0):}$
$lim_{x o x_0} frac{f(x)}{g(x)} = 0$
Se $lim_{x o x_0} f(x)$ non esiste, ma $f(x)$ è una funzione limitata, e se $lim_{x o x_0} g(x) = 0$, allora
$lim_{x o x_0} f(x) cdot g(x) = 0$
Se $lim_{x o x_0} f(x)$ non esiste, ma $f(x)$ è una funzione limitata, e se $lim_{x o x_0} g(x) = pm infty$, allora
$lim_{x o x_0} f(x) + g(x) = pm infty$
$lim_{x o x_0} frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 

 

Tavola dei limiti notevoli

 

Razionali

 

$lim_{x o pm infty} frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ldots + b_0} = {(+infty, " se " n > m " e " frac{a_n}{b_m} > 0),(-infty, " se " n > m " e " frac{a_n}{b_m} < 0),(frac{a_n}{b_m}, " se " n = m),(0, " se " n < m):}$

 

Esponenziali e logaritmici

$lim_{x o +infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$  $lim_{x o -infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$  $lim_{x o pminfty} (1 + frac{a}{x})^{x} = e^{a}$ 
$lim_{x o pminfty} (1 + frac{a}{x})^{nx} = e^{na} $lim_{x o pminfty} (1 – frac{1}{x})^x = frac{1}{e}$  $lim_{x o 0} (1 + ax)^{frac{1}{x}} = e^a$ 
$lim_{x o 0} log_{a} ((1 + x)^{frac{1}{x}}) = frac{1}{log_{e}(a)}$ $lim_{x o 0} frac{log_{a} (1 + x)}{x} = frac{1}{log_{e}(a)}$  $lim_{x o 0} frac{a^x – 1}{x} = ln(a)$, $forall a in mathbb{R}^+$
$lim_{x o 0} frac{(1+x)^a – 1}{x} = a$ $lim_{x o 0} frac{(1+x)^a – 1}{ax} = 1$  $lim_{x o 0} x^b log_{a}(x) = 0$, $forall b in mathbb{R}^+$ 
$lim_{x o 0} frac{log_{a}(x)}{x^b} = +infty$, $forall b in mathbb{R}^+$, con $0 < a < 1$ $lim_{x o 0} frac{log_{a}(x)}{x^b} = -infty$, $forall b in mathbb{R}^+$, con $a > 1$
$lim_{x o +infty} a^x = 0$, $forall a in (0,1)$ 
$lim_{x o +infty} a^x = +infty$, $forall a in (1, +infty)$  $lim_{x o -infty} a^x = +infty$, $forall a in (0,1)$ $lim_{x o -infty} a^x = 0$, $forall a in (1, +infty)$ 
$lim_{x o +infty} x^b a^x = lim_{x o +infty} a^x$, $forall b in mathbb{R}^+$, $forall a in mathbb{R}^+ setminus {1}$ $lim_{x o -infty} |x|^b a^x = lim_{x o -infty} a^x$, $forall b in mathbb{R}^+$
$lim_{x o +infty} frac{a^x}{x^b} = lim_{x o +infty} a^x$, $forall b in mathbb{R}^+$, $forall a in mathbb{R}^+ setminus {1}$ 
$lim_{x o +infty} frac{x^b}{a^x} = lim_{x o -infty} a^x$, $forall b in mathbb{R}^+$, $forall a in mathbb{R}^+ setminus {1}$ $lim_{x o -infty} e^x x^b = 0$, $forall b in mathbb{R}^+$  

Goniometrici e iperbolici

$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$  $lim_{x o 0} frac{sin(ax)}{bx} = frac{a}{b}$  $lim_{x o 0} frac{sin(ax)}{sin(bx)} = frac{a}{b}$ 
$lim_{x o 0} frac{"tg"(x)}{x} = 1$ $lim_{x o 0} frac{"tg"(ax)}{bx} = frac{a}{b}$  $lim_{x o 0} frac{"tg"(ax)}{"tg"(bx)} = frac{a}{b}$ 
$lim_{x o 0} frac{1 – cos(x)}{x} = 0$ $lim_{x o 0} frac{1 – cos(x)}{x^2} = frac{1}{2}$  $lim_{x o 0} frac{"arcsin"(x)}{x} = 1$ 
$lim_{x o 0} frac{"arcsin"(ax)}{bx} = frac{a}{b}$ $lim_{x o 0} frac{"arcsin"(ax)}{"arcsin"(bx)} = frac{a}{b}$  $lim_{x o 0} frac{"arctg"(x)}{x} = 1$ 
$lim_{x o 0} frac{"arctg"(ax)}{bx} = frac{a}{b}$ $lim_{x o 0} frac{"arctg"(ax)}{"arctg"(bx)} = frac{a}{b}$  $lim_{x o 0} frac{sinh(x)}{x} = 1$ 
$lim_{x o 0} frac{"settsinh"(x)}{x} = 1$ $lim_{x o 0} frac{"tgh"(x)}{x} = 1$  $lim_{x o 0} frac{"setttgh"(x)}{x} = 1$ 
$lim_{x o 0} frac{x – sin(x)}{x^3} = frac{1}{6}$  $lim_{x o 0} frac{x – "arctg"(x)}{x^3} = frac{1}{3}$   

 

Link utili

http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_limiti_notevoli

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Limiti/Indice_limiti.htm

Esercizi svolti sui limiti

Appunti di analisi

Studio di funzione

 

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