Definizione e proprietà
Dato uno spazio vettoriale
[math]V[/math]
su campo
[math]K[/math]
, una norma è una qualsiasi funzione
[math]N: V \to \mathbb{R}[/math]
che rispetta queste
proprietà
1) Definita positività (
[math]O[/math]
è il vettore nullo di
[math]V[/math]
):
[math]N(v) \ge 0 \quad \forall v \in V[/math]
[math]N(v) = 0 iff v = O[/math]
2) Positiva omogeneità :
[math]N(\lambda v) = |\lambda| N(v) \quad \forall \lambda \in K[/math]
3) Disuguaglianza triangolare (o subadditività ):
[math]N(v_1 + v_2) \le N(v_1) + N(v_2) \quad \forall v_1, v_2 \in V[/math]
Norme indotte da un prodotto scalare
Norme indotte da un prodotto scalare
Dato uno spazio vettoriale
[math]V[/math]
su campo
[math]K[/math]
, se
[math]f: V imes V \to \mathbb{C}[/math]
è un qualunque prodotto scalare, allora l'applicazione
[math]N: V \to \mathbb{R}[/math]
definita da
[math]N(v) = \sqrt{f{v,v}}[/math]
è una norma.
Per questo motivo si dice che ogni prodotto scalare induce una norma, secondo la formula scritta precedentemente.
Caso particolare: norma euclidea
Un tipo particolare di norma definita in
[math]\mathbb{R}^n[/math]
(o più in generale in
[math]\mathbb{C}^n[/math]
), è la norma euclidea. Dato un vettore
[math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]
, la norma euclide di
[math]x[/math]
si indica con
[math]||x||_2[/math]
ed è definita come
[math]||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}[/math]
e nel caso reale si riduce a
[math]||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}[/math]
La norma euclidea di un vettore di
[math]\mathbb{R}^n[/math]
(o
[math]\mathbb{C}^n[/math]
) denota la lunghezza (o modulo) del vettore, e come si può vedere tale norma è indotta dal prodotto scalare.
Nota: mentre ogni prodotto scalare induce una norma, non è detto che ogni norma sia indotta da un prodotto scalare. In altri termini ci sono norme che non possono essere indotte da un prodotto scalare.
Esempi di norme
Esempi di norme
In
[math]\mathbb{R}^n[/math]
, sono delle norme le seguenti applicazioni
1)
[math]||x||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|[/math]
(norma di indice
[math]1[/math]
)
2)
[math]||x||_2 = \sqrt{i=1}^n x_i^2[/math]
(norma euclidea, o di indice
[math]2[/math]
)
3)
[math]||x||_p =
oot{p}{\sum_{i=1}^n |x_i|^p}[/math]
, con
[math]p>1[/math]
(norma di indice
[math]p[/math]
)
4)
[math]||x||_{\infty} = max_{i in {1, 2, \ldots, n}} |x_i|[/math]
(norma infinito, ottenuta dalla precedente per
[math]p \to +\infty[/math]
)
Nello spazio delle matrici di ordine
[math]m imes n[/math]
a coefficienti reali, sono norme le seguenti applicazioni
1)
[math]||A||_1 = \text{sup}_{v \in \mathbb{R}^n} ||A v||_1[/math]
(norma matriciale di indice
[math]1[/math]
indotta dalla norma vettorale di indice
[math]1[/math]
)
2)
[math]||A||_2 = \text{sup}_{v \in \mathbb{R}^n} ||A v||_2[/math]
(norma matriciale di indice
[math]2[/math]
indotta dalla norma vettorale di indice
[math]2[/math]
)
3)
[math]||A||_p = \text{sup}_{v \in \mathbb{R}^n} ||A v||_p[/math]
, con
[math]p>1[/math]
(norma matriciale di indice
[math]p[/math]
indotta dalla norma vettorale di indice
[math]p[/math]
)
4)
[math]||A||_{\infty} = \text{sup}_{v in \mathbb{R}^n} ||A v||_{+\infty}[/math]
(norma infinito matriciale indotta dalla norma infinito vettoriale)
Nello spazio delle funzioni continue definite su
[math][a,b][/math]
a valori in
[math]\mathbb{R}[/math]
, è una norma la seguente applicazione
[math]||f||_{\infty} = \text{sup}_{x in [a,b]} |f(x)|[/math]
(norma infinito)
Nello spazio delle funzione definite su
[math][a,b][/math]
, derivabili con continuità
[math]k[/math]
volte a valori in
[math]\mathbb{R}[/math]
, è una norma la seguente applicazione
[math]||f||_k = \text{sup}_{x \in [a,b]} |f^{(k)}{x}| + \text{sup}_{x \in [a,b]} |f^{(k-1)}{x}| + \ldots + \text{sup}_{x \in [a,b]} |f'{x}| +\text{sup}_{x \in [a,b]} |f^{x}|[/math]
