Numeri complessi

Definizione

L’insieme dei numeri complessi è definito come l’insieme di tutte le coppie di numeri reali, ossia

$mathbb{C} = mathbb{R} imes mathbb{R}$

Su $mathbb{C}$ sono definite due operazioni interne, un’operazione di somma e un’operazione di prodotto, che agiscono nel modo seguente

$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) quad forall (a,b), (c,d) in mathbb{C}$

 

$(a,b) cdot (c,d) = (a cdot c – b cdot d, a cdot d + b cdot c) quad forall (a,b), (c,d) in mathbb{C}$
Da notare che $(0,0)$ è l’elemento neutro rispetto alla somma e che $(1,0)$ lo è rispetto al prodotto. Inoltre $(0,1) cdot (0,1) = (-1,0)$. L’insieme $mathbb{C}$, munito di queste due operazioni, è un campo.

Forma algebrica dei numeri complessi

Posto $1 =_{def} (1,0)$ e $i =_{def} (0,1)$, ogni numero complesso $(a,b)$ si può esprimere in forma algebrica così come segue

$(a,b) =_{def} a + ib$

Il numero reale $a$ si chiama parte reale, mentre il numero reale $b$ si chiama parte immaginaria. Il numero complesso $i$ viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione risulta $i^2 = -1$. Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri complessi espressi in forma algebrica

$(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)$

 

$(a + ib) cdot (c + id) = a c + i a d + i b c + i^2 b d = a c – bd + i (a d + b c)$

Complesso coniugato

Dato un numero complesso $z = (a,b) = a + ib$, il suo complesso coniugato è $ar{z} = (a, -b) = a – ib$.

Modulo e fase

Dato un numero complesso $z = a + ib$, si definisce modulo di $z$ la quantità $M = sqrt{a^2 + b^2}$, si definisce invece fase, o argomento, di $z$, la quantità

$ heta = {(“arctg”(frac{b}{a}), quad “se ” a > 0),(“arctg”(frac{b}{a}) – pi, quad “se ” a < 0 ” e ” b < 0),(“arctg”(frac{b}{a}) + pi, quad “se ” a < 0 ” e ” b > 0),(frac{pi}{2}, quad “se ” a = 0 ” e ” b > 0),(-frac{pi}{2}, quad “se ” a = 0 ” e ” b < 0),(-pi, quad “se ” a < 0 ” e ” b = 0):}$

Rappresentazione in forma trigonometrica

Ogni numero complesso $z = a + ib$ può essere espresso in modulo e fase, così come segue

$z = M (cos( heta) + i sin( heta))$
Si noti che in questa rappresentazione il complesso coniugato si scrive come $ar{z} = M (cos( heta) – i sin( heta))$.

Formula di Eulero

Tramite gli sviluppi in serie di Taylor di seno, coseno e esponenziale si dimostra la seguente formula di Eulero

$e^{i heta} = cos( heta) + i sin( heta) quad forall heta in mathbb{R}$

Di conseguenza seno e coseno possono essere espressi con esponenziali complessi nel modo seguente

$cos( heta) = frac{e^{i heta} + e^{-i heta}}{2}$

 

$sin( heta) = frac{e^{i heta} – e^{-i heta}}{2i}$

Rappresentazione in forma esponenziale

Ogni numero complesso $z = a + ib$, con modulo $M$ e fase $ heta$, può essere espresso in forma esponenziale nel modo seguente

$z = M e^{i heta}$
Si noti che in questa forma il complesso coniugato si scrive come $ar{z} = M e^{-i heta}$.

Formule di De Moivre

Dati due numeri complessi, $z_1 = M_1 (cos( heta_1) + i sin( heta_1))$ e $z_2 = M_2 (cos( heta_2) + i sin( heta_2))$, valgono le seguenti formule di De Moivre

$z_1 cdot z_2 = M_1 M_2 (cos( heta_1 + heta_2) + i sin( heta_1 + heta_2))$

 

$frac{z_1}{z_2} = frac{M_1}{M_2} (cos( heta_1 – heta_2) + i sin( heta_1 – heta_2))$ con $z_2
e 0$

In particolare, indicando con $|cdot|$ il modulo di un numero complesso e con $”arg”(cdot)$ la fase, risulta

$|z_1 cdot z_2| = |z_1| cdot |z_2|$

 

$|frac{z_1}{z_2}| = frac{|z_1|}{|z_2|}$

 

$”arg”(z_1 cdot z_2) = “arg”(z_1) + “arg”(z_2)$

 

$”arg”(frac{z_1}{z_2}) = “arg”(z_1) – “arg”(z_2)$

Dato $z in mathbb{C}$, detto $M$ il suo modulo e $ heta$ la sua fase, risulta

$z^n = M^n (cos(n heta) + i sin(n heta))$

Radici $n$-esime

Dato un numero complesso $w$, si dice che $z$ è la radice $n$-esima di $w$ se e solo se $z^n = w$. Se $w
e 0$, allora esistono esattamente $n$ radici $n$-esime di $w$. Dette $z_1, z_2, ldots, z_n$ tali radici, e posto $w = M (cos( heta) + i sin( heta))$, risulta
$z_k = M_k (cos( heta_k) + i sin( heta_k))$

con

$M_k = M^{frac{1}{n}}$

 

$ heta_k = frac{ heta + 2 k pi}{n}$

per ogni $k = 0, 1, ldots, n-1$.

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