Prodotto tra due matrici
Date due matrici i cui coefficienti sono numeri reali,[math]A[/math]
di ordine [math]m \times p[/math]
e [math]B[/math]
di ordine [math]q \times n[/math]
, il prodotto tra esse [math]A\cdot B[/math]
è definito solo se il numero di colonne di [math]A[/math]
è uguale al numero di righe di [math]B[/math]
, cioè se [math]p = q[/math]
. In tal caso il risultato del prodotto è una matrice [math]C[/math]
di ordine [math]m \times n[/math]
, il cui elemento di posto [math]ij[/math]
è definito come il prodotto scalare canonico fra la [math]i[/math]
-esima riga di [math]A[/math]
e la [math]j[/math]
-esima colonna di [math]B[/math]
. In simboli matematici abbiamo:
[math]c_{ij} = \sum_{s=1}^{p} a_{is} b_{sj}[/math]
Due matrici come A e B, sono dette anche conformabili, e il prodotto fra matrici si può eseguire solo se queste sono conformabili, si dice anche che A è conformabile con B.
Proprietà del prodotto tra due o più matrici
Dette A, B, C tre matrici conformabili, la moltiplicazione:- gode della proprietà associativa:[math](A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)[/math]
- non vale la proprietà commutativa:[math]A\cdot B\neq B\cdot A[/math]
- è distributiva rispetto all’addizione sia a sinistra che a destra:[math]A\cdot( B+C)=A\cdot B+A\ \ e \ \ (B+C)\cdot A=B\cdot A+ C\cdot A[/math]
- non vale la legge di annullamento del prodotto:[math]A\cdot B=0 \nrightarrow A=0 \vee B=0[/math]
- non vale la legge di cancellazione:[math]A\cdot B=A\cdot C \nrightarrow B=C[/math]
[math]A^r A^s = A^s A^r \forall r, z \in \mathbb{Z}[/math]
le potenze di una matrice
[math]A[/math]
commutano.
Per le matrici quadrate valgono infine le seguenti proprietà:
- [math]A\cdot 0=0\cdot A=0[/math]dove con 0 si indica la matrice nulla dello stesso ordine di A;
- [math]A\cdot I=I\cdot A=A[/math]dove Ia matrice identica[math]I[/math], dello stesso ordine di A è l’elemento neutro del prodotto.
Esempio numerico svolto
Calcoliamo il prodotto[math]A\cdot B[/math]
, date le due matrici:
[math]A = \begin{pmatrix}2 & 6 & 4 \\ 5 & 9 & 4 \end{pmatrix}[/math]
e [math]B =\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 9 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}[/math]
[math]A[/math]
è una matrice di ordine [math]2\times 3[/math]
, [math]B[/math]
è di ordine [math]3\times 2[/math]
, pertanto la matrice risultante [math]C[/math]
è di ordine [math]2\times 2[/math]
.Eseguiamo il prodotto riga per colonna e costruiamo tutti gli elementi di
[math]C[/math]
.La componente di
[math]C[/math]
di posto [math]11[/math]
è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di [math]A[/math]
e la prima colonna di [math]B[/math]
, effettuiamo la moltiplicazione tra gli elementi:
[math]c_{11} =\langle (2,6,4)\text{,}(8,9,2) \rangle = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 2 = 78[/math]
La componente di
[math]C[/math]
di posto [math]12[/math]
è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di [math]A[/math]
e la seconda colonna di [math]B[/math]
:
[math]c_{12} = \langle (2,6,4)\text{,}(4,4,0) \rangle = 2 \cdot 4 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 32[/math]
La componente di
[math]C[/math]
di posto [math]21[/math]
è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di [math]A[/math]
e la prima colonna di [math]B[/math]
:
[math]c_{21} = \langle (5,9,4)\text{,}(8,9,2) \rangle = 5 \cdot 8 + 9 \cdot 9 + 4 \cdot 2 = 129[/math]
La componente di
[math]C[/math]
di posto [math]22[/math]
è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di [math]A[/math]
e la seconda colonna di [math]B[/math]
:
[math]c_{22} =\langle (5,9, 4)\text{,}(4,4,0) \rangle = 5 \cdot 4 + 9 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 56[/math]
Scriviamo la matrice quadrata
[math]C[/math]
:
[math]\begin{pmatrix}78 & 32 \\ 129 & 56 \end{pmatrix}[/math]
Matrice trasposta
Se[math]A[/math]
è una matrice di ordine [math]m \times n[/math]
, allora la matrice [math]A^T[/math]
, leggi [math]A[/math]
trasposta, è la matrice di ordine [math]n \times m[/math]
che si ottiene scambiando le righe con le colonne. Vediamo un esempio.
Sia data la matrice
[math]A =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}[/math]
la matrice trasposta è quella che si ottiene scambiando la prima riga con la prima colonna, la seconda riga con la seconda colonna, ..., la
[math]n[/math]
-esima riga con la [math]n[/math]
-esima colonna, quindi, in questo caso:
[math]A^T =\begin{pmatrix} 1 & 5 & 9 \\ 2 & 6 & 10 \\ 3 & 7 & 11 \\ 4 & 8 & 12 \end{pmatrix}[/math]
Se le matrici sono vettori riga o colonna: il trasposto di un vettore riga è il corrispondente vettore colonna, mentre il trasposto di un vettore colonna è il corrispondente vettore riga.
Infine l'operatore di trasposizione gode della seguente proprietà:
[math](AB)^T = B^T A^T[/math]
La trasposta del prodotto di due matrici è uguale al prodotto delle matrici trasposte
Per ulteriori approfondimenti sulle matrici vedi qua
Matrice identità o identica
La matrice identità indicata con[math]I[/math]
, di ordine [math]n[/math]
è l'elemento neutro del prodotto fra matrici, ed è una matrice quadrata con n righe ed n colonne che ha tutti [math]1[/math]
sulla diagonale principale, e zero altrove. Ad esempio la matrice identità del terzo ordine è fatta come segue:
[math]I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]
La matrice identità è detta anche matrice identica. Questa viene utilizzata per costruire il polinomio caratteristico ai fini della ricerca degli autovalori di una matrice.
Per ulteriori approfondimenti sugli autovalori e autovettori vedi qua
Prodotto fra vettori riga e vettori colonna
Vettore riga per vettore colonnaSe
[math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]
e [math]y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)[/math]
sono due vettori a [math]n[/math]
componenti, il prodotto fra il vettore riga [math]x[/math]
e il vettore colonna [math]y[/math]
coincide con il prodotto scalare canonico fra [math]x[/math]
e [math]y[/math]
, in formule:
[math](x_1, x_2, \ldots, x_n)\cdot (y_1,y_2),\ldots,y_n) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n[/math]
Se
[math]x[/math]
è un vettore riga, il corrispondente vettore colonna si indica con [math]x^T[/math]
(trasposto), così come se [math]x[/math]
è un vettore colonna allora il corrispondente vettore riga si indica con [math]x^T[/math]
.
Vettore colonna per vettore riga
Se
[math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]
e [math]y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)[/math]
sono due vettori a
[math]n[/math]
componenti, il prodotto fra il vettore colonna [math]x[/math]
e il vettore riga [math]y[/math]
coincide con la matrice di ordine [math]n \times n[/math]
in cui la componente di posto [math]ij[/math]
è data dal prodotto fra la [math]i[/math]
-esima componente di [math]x[/math]
e la [math]j[/math]
-esima componente di [math]y[/math]
.In formule:
[math]A=\begin{pmatrix}x_1 y_1 & x_2 y_1 & \ldots & x_n y_1 \\ x_1 y_2 & x_2 y_2 & \ldots & x_n y_2 \\ \ldots & \ldots & \dots &\ldots \\ x_1 y_n & x_2 y_n & \ldots & x_n y_n \end{pmatrix}[/math]
