_antoniobernardo
di _antoniobernardo
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In questo appunto di matematica verranno descritti i concetti relativi alle progressioni numeriche, e nello specifico relativamente alle progressioni aritmetiche, progressioni geometriche e progressioni armoniche, attraverso le loro definizioni, concetti fondamentali ed esempi pratici numerici.

Progressioni

In matematica si può parlare di differenti tipologie di progressioni numeriche. Si parla di progressioni aritmetiche , di progressioni geometriche e di progressioni armoniche.
Nello specifico queste si definiscono come segue riportato in questa lista:

  • Una progressione aritmetica è una successione di numeri o anche definita come sequenza di numeri nella quale la differenza tra ciascun termine e il termine seguente si mantiene costante. La differenza che risulta essere un valore costante viene in genere definito come la ragione della successione. Si definisce di seguito una serie aritmetica la somma dei numeri che costituiscono la progressione aritmetica.
  • Una progressione geometrica è una successione di numeri o anche definita sequenza di numeri nella quale il quoziente tra ciascun termine e il termine seguente si mantiene costante. Questo quoziente viene in genere definito come ragione della successione. Si definisce di seguito una serie geometrica la somma dei numeri che costituiscono la progressione aritmetica.
  • Una progressione armonica viene definita a partire dalla definizione di progressione aritmetica. Tre numeri a,b,c formano una progressione armonica se i loro reciproci formano una progressione aritmetica.

Per approfondire il concetto di successione di numerici matematici, vedi qui

Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica, così come è stata già definita nel paragrafo precedente, non è altro che una sequenza, e dunque una successione, di numeri tale per cui la differenza che si presenta tra ciascun numero ed il suo precedente numero debba essere sempre costante. Possiamo fare un esempio numerico per comprendere appieno il concetto. L'esempio numerico è qui di seguito riportato. Consideriamo questa sequenza di numeri:

[math]3,7,11,15,19,23,27...[/math]

Questa non è altro che una progressione aritmetica. Possiamo infatti vedere come la differenza del numero successivo meno quello che lo precede è sempre un valore costante. Verifichiamo:

[math]7-3=15-11=19-15=23-19=27-23=4[/math]

La costante che ne risulta fuori, nel caso specifico è 4, viene definita come la "Ragione della progressione aritmetica".

Questo vale per un ragionamento vincolato alle scuole superiori. Se rientriamo un po' più nello specifico con il concetto di successione, si può procedere a definire il concetto di progressione aritmetica in maniera più generale. Si considerino i diversi valori:

[math]a_1, a_2, a_3...[/math]

Questi sono definiti come i termini della progressione aritmetica. Se si individua come k la ragione della progressione aritmetica, deve valere sempre che:

[math]a_n-a_{n-1}=k[/math]

Che se sostituiamo dei valori numerici come quelli dell'esempio precedente, si osserva il rispetto della condizione. Da qui si può andare ad individuare una formula generica per andare ad individuare l'ennesimo termine della progressione aritmetica se si è a conoscenza solo del primo termine e della ragione della progressione stessa. Da qui si seguito riportata la formula:

[math]a_n=a_1+(n-1)d[/math]

Una caratteristica fondamentale delle progressioni aritmetiche è che queste vanno a fornire degli intervalli che risultano essere consecutivi e di uguale ampiezza (ovvero della ragione della progressione aritmetica). Queste sequenze sono essenziali ad esempio nella definizione del concetto di integrale.

Progressione geometrica

Una progressione geometrica, così come è stata già definita nel paragrafo precedente, non è altro che una sequenza o successione di numeri che devono risultare essere non nulli, tali per cui risulti che il rapporto che vi è tra ciascun elemento e quello precedente debba essere costante. Questo rapporto viene poi definito proprio come la "Ragione della progressione geometrica, indicata generalmente attraverso la lettera q. Possiamo fare un esempio numerico per comprendere appieno il concetto. L'esempio numerico è qui di seguito riportato. Consideriamo questa sequenza di numeri:

[math]2,4,8,16,32,64[/math]

Questa non è altro che una progressione geometrica. Possiamo infatti vedere come il rapporto del numero successivo su quello che lo precede è sempre un valore costante. Verifichiamo:

[math]\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{4}, \frac{32}{16}, \frac{64}{32}=2[/math]

La costante che ne risulta fuori, nel caso specifico è 2, è proprio la "Ragione della progressione geometrica".

Questo vale per un ragionamento vincolato alle scuole superiori. Se rientriamo un po' più nello specifico con il concetto di successione, si può procedere a definire il concetto di progressione geometrica in maniera più generale. Si considerino i diversi valori:

[math]a_1, a_2, a_3...a_{n-1},a_n[/math]

Questi sono definiti come i termini della progressione geometrica. Se si individua come k la ragione della progressione geometrica, deve valere sempre che:

[math]\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_3}{a_2}=....=\frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/math]

Che se sostituiamo dei valori numerici come quelli dell'esempio precedente, si osserva il rispetto della condizione. Da qui si può andare ad individuare una formula generica per andare ad individuare l'ennesimo termine della progressione geometrica se si è a conoscenza solo del primo termine e della ragione della progressione stessa. Da qui si seguito riportata la formula:

[math]a_n=a_{n-1} \cdot q[/math]

Progressione armonica

Una progressione armonica, così come è stata già definita nel paragrafo precedente, non è altro che una successione di numeri reali che si può definire come progressione armonica quando i reciproci dei suoi termini formano una progressione aritmetica. Si osserva come i due concetti di progressione aritmetica e progressione armonica siano legati tra di loro in maniera intrinseca proprio a livello della definizione formale di progressione armonica.
Si lascia al lettore, come è stato già fatto per le progressioni aritmetiche e geometriche, di individuare un esempio pratico che rispetti la definizione della tipologia di progressione numerica considerata.

Approfondimenti

Per ulteriori approfondimenti sulle progressioni aritmetiche, progressioni geometriche e progressioni armoniche, e più in generale sulle armoniche, si invita a leggere il pdf qui di seguito riportato.

PDF

Per ulteriori approfondimenti sulle serie e successioni matematiche vedi qui

Risulta essere di fondamentale importanza che non si vada a confondere il concetto di successione numerica con il termine di serie numerica. Non si devono confondere proprio perché sono delle entità matematiche completamente differenti, sono solo in termini di formulazione propria matematica, ma anche di concetto alla loro base di ragionamento.

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