Serie di Fourier in forma di esponenziali complessi
Se
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
è una funzione periodica di periodo [math]T[/math]
a quadrato sommabile sul periodo, cioè [math]\int_0^T (f(x))^2 dx , allora si può sviluppare in serie di Fourier mediante esponenziali complessi, nel seguente modo
[math]f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \frac{2 \\pi}{T} n x}[/math]
dove
[math]c_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/math]
è il valor medio
e in generale
[math]c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{- i \frac{2 \\pi}{T} n x} dx[/math]
Nota: se
[math]x_0[/math]
è un punto di discontinuità di salto, allora [math]\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \frac{2 \\pi}{T} n x_0} = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}[/math]
. Questo vuol dire che nei punti di discontinuità di salto la serie di Fourier converge alla metà del salto.
Serie di Fourier trigonometrica
Se
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
è una funzione periodica di periodo [math]T[/math]
a quadrato sommabile sul periodo, cioè [math]\int_0^T (f(x))^2 dx , allora si può sviluppare in serie di Fourier trigonometrica, nel seguente modo Caso particolare: funzioni
Caso particolare: funzioni
[math]f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \\cos(\frac{2 \\pi}{T} n x) + b_n \\sin(\frac{2 \\pi}{T} n x))[/math]
dove
[math]a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/math]
e in generale
[math]a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \\cos(\frac{2 \\pi}{T} n x) dx[/math]
[math]b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \\sin(\frac{2 \\pi}{T} n x) dx[/math]
Nota: se
[math]x_0[/math]
è un punto di discontinuità di salto, allora [math]\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \frac{2 \\pi}{T} n x_0} = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}[/math]
. Questo vuol dire che nei punti di discontinuità di salto la serie di Fourier converge alla metà del salto.
Identità di Parseval
Se
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
è una funzione [math]T[/math]
-periodica, a quadrato sommabile sul periodo, e [math]f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \\cos(\frac{2 \\pi}{T} n x) + b_n \\sin(\frac{2 \\pi}{T} n x))[/math]
è il suo sviluppo in serie di Fourier, allora vale l'identità di Parseval
[math]\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (f(x))^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)[/math]
Caso particolare: funzioni [math]2 \\pi[/math]-periodiche
Caso particolare: funzioni [math]2 \\pi[/math]-periodiche
Per
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
periodiche di periodo [math]2 \\pi[/math]
e a quadrato sommabile sul periodo, le serie di Fourier, in forma complessa e trigonometrica, assumono la seguente forma.
Serie di Fourier complessa
[math]f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x}[/math]
con
[math]c_0 = \frac{1}{2 \\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) dx[/math]
e
[math]c_n = \frac{1}{2 \\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) e^{- i n x} dx[/math]
Serie di Fourier in forma trigonometrica
[math]f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \\cos(n x) + b_n \\sin(n x))[/math]
con
[math]a_0 = \frac{1}{\\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) dx[/math]
e
[math]a_n = \frac{1}{\\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\cos(n x) dx[/math]
[math]b_n = \frac{1}{\\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\sin(n x) dx[/math]
Identità di Parseval
[math]\frac{1}{\\pi} \int_{-\\pi}^{\\pi} (f(x))^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)[/math]
