Somma in [math]\mathbb{R}^n[/math] e in [math]\mathbb{C}^n[/math]
Gli elementi di
[math]\mathbb{R}^n[/math]
(o più in generale di [math]\mathbb{C}^n[/math]
), possono essere rappresentati come enuple ordinate di numeri reali (rispettivamente complessi) sia come vettori riga, ad esempio
[math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]
che come vettori colonna, ad esempio
[math]x = ((x_1),(x_2),(vdots),(x_n))[/math]
La somma fra due vettori riga, o due vettori colonna, è definita come il vettore la cui
[math]i[/math]
-esima componente è data dalla somma delle [math]i[/math]
-esime componenti dei due vettori considerati. In formule
[math](x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)[/math]
ed equivalentemente
[math]((x_1),(x_2),(vdots),(x_n)) + ((y_1),(y_2),(vdots),(y_n)) = ((x_1 + y_1),(x_2 + y_2),(vdots),(x_n + y_n))[/math]
Prodotto fra uno scalare e un vettore
Dato uno scalare
[math]\lambda[/math]
(cioè una costante reale o complessa) e un vettore [math]x \in \mathbb{R}^n[/math]
(o [math]\in \mathbb{C}^n[/math]
), il prodotto [math]\lambda \cdot x[/math]
è definito come il vettore la cui [math]i[/math]
-esima componente è data dal prodotto fra [math]\lambda[/math]
e la [math]i[/math]
-esima componente di [math]x[/math]
. In formule
[math]\lambda \cdot x = \lambda \cdot ((x_1),(x_2),(vdots),(x_n)) = ((\lambda \cdot x_1),(\lambda \cdot x_2),(vdots),(\lambda \cdot x_n))[/math]
La situazione è analoga se si considerano vettori riga anziché colonna.
Somma fra matrici
Somma fra matrici
Date due matrici
[math]A[/math]
e [math]B[/math]
dello stesso ordine [math]m imes n[/math]
a coefficienti reali (o complessi), la somma [math]A + B[/math]
è data dalla matrice [math]C[/math]
di ordine [math]m imes n[/math]
, la cui componente di posto [math]ij[/math]
equivale alla somma fra la componente di posto [math]ij[/math]
di [math]A[/math]
e quella di posto [math]ij[/math]
di [math]B[/math]
. In formule
se
[math]A = ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn}))[/math]
e [math]B = ((b_{11}, \quad b_{12}, \quad \ldots, \quad b_{1n}),(b_{21}, \quad b_{22}, \quad \ldots, \quad b_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(b_{m1}, \quad b_{m2}, \quad \ldots, \quad b_{mn}))[/math]
allora
[math]A + B = ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn})) + ((b_{11}, \quad b_{12}, \quad \ldots, \quad b_{1n}),(b_{21}, \quad b_{22}, \quad \ldots, \quad b_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(b_{m1}, \quad b_{m2}, \quad \ldots, \quad b_{mn})) = ((a_{11} + b_{11}, \quad a_{12} + b_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n} + b_{1n}),(a_{21} + b_{21}, \quad a_{22} + b_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n} + b_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(a_{m1} + b_{m1}, \quad a_{m2} + b_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn} + b_{mn}))[/math]
Prodotto fra uno scalare e una matrice
Dato uno scalare
[math]\lambda[/math]
(cioè una costante reale o complessa) e una matrice [math]A[/math]
di ordine [math]m imes n[/math]
, a coefficienti reali o complessi, il prodotto [math]\lambda \cdot A[/math]
è definito come la matrice di ordine [math]m imes n[/math]
la cui componente di posto [math]ij[/math]
è data dal prodotto fra [math]\lambda[/math]
e la componente di posto [math]ij[/math]
di [math]A[/math]
. In formule
[math]\lambda \cdot A = \lambda \cdot ((a_{11}, \quad a_{12}, \quad \ldots, \quad a_{1n}),(a_{21}, \quad a_{22}, \quad \ldots, \quad a_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(a_{m1}, \quad a_{m2}, \quad \ldots, \quad a_{mn})) = ((\lambda \cdot a_{11}, \quad \lambda \cdot a_{12}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{1n}),(\lambda \cdot a_{21}, \quad \lambda \cdot a_{22}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{2n}),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(\lambda \cdot a_{m1}, \quad \lambda \cdot a_{m2}, \quad \ldots, \quad \lambda \cdot a_{mn}))[/math]
