Definizione
Si dice che
[math]n[/math]
variabili aleatorie [math]X_1, X_2, \ldots, X_n[/math]
sono indipendenti se e solo se per ogni scelta di [math]a_1 risulta
[math]P({a_1 \le X_1 \le b_1} \cap {a_2 \le X_2 \le b_2} \cap \ldots \cap {a_n \le X_n \le b_n}) =[/math]
[math]= P({a_1 \le X_1 \le b_1}) \cdot P({a_2 \le X_2 \le b_2}) \cdot \ldots \cdot P({a_n \le X_n \le b_n})[/math]
Se
[math]X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)[/math]
è una variabile aleatoria vettoriale, le cui componenti sono variabili aleatorie indipendenti, allora la densità congiunta di [math]X[/math]
è data dal prodotto delle marginali
[math]f_X(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2}(x_2) \cdot \ldots \cdot f_{X_n}(x_n)[/math]
Vale anche il viceversa, cioè se la densità congiunta è data dal prodotto delle marginali, allora le variabili aleatorie
[math]X_1, X_2, \ldots, X_n[/math]
sono indipendenti.
Densità condizionali
Se
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
sono due variabili aleatorie con densità di probabilità congiunta [math]f_{X,Y}(x,y)[/math]
e marginali [math]f_X(x)[/math]
e [math]f_Y(y)[/math]
, si definisce densità di probabilità condizionale di [math]X[/math]
dato [math]Y = y[/math]
[math]f_\begin{cases} & \quad \text{se } f_Y(y) \ne 0 \\ 0 & \quad \text{se } f_Y(y) = 0 \ \end{cases}[/math]
Notare che mentre
[math]x[/math]
è una variabile [math]y[/math]
è fissato.
Caso particolare: indipendenza
Se
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
sono variabili aleatorie indipendenti, allora le densità condizionali equivalgono alle densità marginali
[math]f_{X | Y}(x | y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{f_X(x) f_Y(y)}{f_Y(y)} = f_X(x)[/math]
[math]f_{X | Y}(x | y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} = \frac{f_X(x) f_Y(y)}{f_X(x)} = f_Y(y)[/math]
