Che cos’è il logaritmo?
Il logaritmo è un operatore matematico, la sua definizione rigorosa è la seguente: il logaritmo in base[math]a[/math]
di un numero [math]b[/math]
, chiamato argomento del logaritmo, è l’esponente da dare alla base per ottenere il numero [math]b[/math]
.Considerando due numeri
[math]a[/math]
,[math]b[/math]
reali, con [math]a\neq1[/math]
, in formule si ha:[math]log_a b = x [/math]
[math]a^x=b [/math]
[math]a[/math]
si chiama base del logaritmo; mentre, il numero [math]b[/math]
si chiama argomento del logaritmo.E
[math]x[/math]
è il risultato del logaritmo.
Tipologie di logaritmi principali
Possiamo avere due tipologie principali di logaritmi, la differenza principale tra i due logaritmi è la base.- Il logaritmo in base dieci [math]log_{10}[/math], si chiama logaritmo decimale. Solitamente si indica con[math]log[/math];
- Il logaritmo in base [math]e[/math], dove[math]e[/math]è il numero di Neplero che vale[math]e=2,7182818284..[/math], si chiama logaritmo naturale[math]log_e[/math]. Solitamente si indica con[math]ln[/math].
Che cos’è la funzione logaritmica?
La funzione logaritmica è una funzione con almeno un’incognita nell’argomento del logaritmo:[math]y= log_a x [/math]
[math]0[/math]
e diversa da [math]1[/math]
, ed è definita nell’insieme dei numeri positivi.Quindi il suo dominio farà parte dell’insieme dei numeri reali positivi.
E il suo codominio sarà invece l’insieme dei numeri reali.
La funzione inversa della funzione logaritmo è la funzione esponenziale.
Per ulteriori approfondimenti sulla funzione esponenziale vedi qua.
Proprietà principali dei logaritmi
Se la funzione logaritmo ha base[math]a > 1[/math]
allora possiede le seguenti proprietà:- Il dominio è [math]{x\in \mathbb{R}: x>0}[/math];
- è invertibile;
- è crescente.
[math]0 allora possiede le seguenti proprietà:
Le regole principali sono:
- Il dominio è [math]{x\in \mathbb{R}: x>0}[/math];
- è invertibile;
- è decrescente;
Regole principali dei logaritmi
Le principali regole riportate di seguito sono valide per qualsiasi base scelta per il logaritmo, purchè[math]x,y,a,b>0[/math]
e [math]a,b\neq 1[/math]
.Le regole principali sono:
- [math]log_a (xy)= log_a x + log_a y[/math]
- [math]log_a \frac{x}{y} = log_a x – log_a y[/math]
- [math]log_a x^y = ylog_a x[/math]
- [math]log_a x = \frac{log_b x}{log_b a}[/math]: questa proprietà è detta cambiamento di base
- [math]log_a x =-log_{\frac{1}{a}} x[/math]
- [math]log_a \frac{b_1}{b_2} = -log_a \frac{b_2}{b_1}[/math]
- [math]log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} log_a b[/math]
- [math]log_a \frac{1}{b} = - log_a b[/math]
Qualsiasi sia la base del logaritmo, se l'argomento è uguale ad [math]1[/math], il valore del logaritmo è sempre zero:
[math]log_a 1 =0[/math]
Se la base e l'argomento del logaritmo sono uguali, il logaritmo vale sempre [math]1[/math]:
[math]log_a a =1[/math]
Prestiamo particolare attenzione alla proprietà del cambiamento di base.
Essa è utile per togliere dai nostri calcoli una base che ci resta scomoda per la risoluzione dell’esercizio.
Come funziona ? Riscriviamo il logaritmo che ci ostacola come rapporto, il numeratore ha la nuova base e lo stesso argomento e il denominatore è un logaritmo che ha per base la nuova base e per argomento la base precedente.
Per fare un esempio semplice di applicazione della regola, se partiamo da
[math]log_4 5[/math]
alla fine scriveremo [math]log_4 5 = \frac{log_6 5}{log_6 4}[/math]
.
Con i logaritmi è possibile anche svolgere esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche.
Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni e disequazioni logaritmiche vedi qua
Esercizi applicati sui logaritmi
Di seguito alcuni semplici esercizi sui logaritmi per capire la loro applicazione:- Esempio 1:[math]log_3 x = 2 [/math][math]x =9[/math]
- Esempio 2: [math]log (x+2) =0[/math][math]x =-1[/math]
- Esempio 3:[math]log_4 (2x-1) =log_4 x [/math][math]x=1 [/math]
- Esempio 4:[math]ln x = 2 ln 2x [/math][math]x=\frac {1}{4}[/math]
- Esempio 5: [math]log_3 x =1[/math][math]x = 3[/math]
- Esempio 6:[math]ln 2x = 0[/math][math]x =0[/math]
- Esempio 7:[math]log_3 2 + log_3 x = log_3 \frac{1}{2} + log_3 \frac{1}{x}[/math][math]x=\frac{1}{2}[/math]
- Esempio 8:[math]log_{\frac{3}{2}} \frac{x-2}{3} = -2[/math][math]x = \frac{10}{3}[/math]
- Esempio 9:[math]log_{x –2} 9 = 2[/math][math]x= 5[/math]
- Esempio 10:[math]log_3 (3 x + 1) – log_3 x = 2[/math][math]x = \frac{1}{6}[/math]
- Esempio 11:[math]log_5 x – log_{25} x = 1[/math][math]x = 25[/math]
- Esempio 12: [math]ln (x – 2) – ln 3 = ln(5 – x) – ln 2[/math][math]x = \frac{19}{5}[/math]
