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In questo appunto viene descritto lo sviluppo in serie di Taylor, o più in generale la Serie di Taylor, viene utilizzata in analisi matematica per approssimare il comportamento di una funzione
[math]f(x)[/math]
derivabile n volte nell'intorno di un punto
[math]x_0[/math]
, tramite l'utilizzo di un polinomio
[math]Pn(x)[/math]
, ottenuto da una serie numerica.

Definizione della Serie di Taylor

Data una funzione
[math]f(x)[/math]
con centro
[math]x_0[/math]
, continua e derivabile
[math]n[/math]
volte nell’intorno di
[math]x_0[/math]
, è possibile associare alla funzione
[math]f(x)[/math]
un polinomio di ordine
[math]n[/math]
, chiamato
[math]T_n(x)[/math]
, tale che:

[math]T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + [/math]

[math]+\ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n[/math]

Questo polinomio prende il nome di Polinomio di Taylor o Serie di Taylor.

Esempio

Per capire meglio quanto detto prima, facciamo un esempio pratico.
In particolare, consideriamo il caso di una funzione elementare continua e derivabile in tutto il suo dominio; la funzione esponenziale fa al caso nostro, quindi scriviamo:

[math]f(x)= e^x[/math]

Quindi, possiamo costruire la serie di Taylor della funzione prendo in considerazione il punto

[math]x_0=0[/math]
.
N.B. Possiamo prendere qualunque valore di
[math]x_0[/math]
all’interno del dominio, ma per semplicità di calcolo prendiamo il punto 0. In particolare, quando
[math]x_0=0[/math]
, la serie prende il nome di Serie di Mc Laurin.
Prima di proseguire con lo sviluppo in serie di Taylor, fai un ripasso del dominio di esistenza e derivabilità di una funzione:
Per definizione sappiamo che:

[math]T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + \ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n[/math]

Questa serie è costituita da infiniti termini (n per l’esattezza), pertanto iniziamo con n=1 e, di volta in volta, aggiungiamo un termine alla nostra serie, ricordando che la derivata della funzione

[math]e^x [/math]
è sempre
[math]e^x[/math]
, infatti:

[math]f(x)=f’(x)=f’’(x)=…=f^n(x)=e^x[/math]

Detto questo, adesso possiamo iniziare con i nostri calcoli:

  • [math]n=1 => T_1(x) = f(0)=e^0=1 [/math]
  • [math]n=2 => T_2(x) = f(0) + \frac{df}{dx}(0) \cdot (x - 0)=e^0 + e^0 \cdot (x - 0) =1 +x[/math]
  • [math]n=3 => T_3(x) = f(0) + \frac{df}{dx}(0) \cdot (x - 0)+\frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(0) \cdot (x - 0)^2=e^0 + e^0 \cdot (x - 0)+ \frac{1}{2!} e^0 \cdot (x )^2 =1 +x+\frac{x^2}{2!}[/math]
  • [math]n=4 => T_4(x) = f(0) + \frac{df}{dx}(0) \cdot (x - 0) +\frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(0) \cdot (x - 0)^2+\frac{1}{3!} \frac{d^3 f}{dx^3}(0) \cdot (x - 0)^3=e^0 + e^0 \cdot (x - 0)+ \frac{1}{2\cdot1} e^0 \cdot (x )^2+\frac{1}{2\cdot3} \frac{d^3 f}{dx^3}(0) \cdot (x - 0)^3 =1 +x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6} [/math]
  • [math]n=5 => T_5(x) = f(0) + \frac{df}{dx}(0) \cdot (x - 0) +\frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(0) \cdot (x - 0)^2+\frac{1}{3!} \frac{d^3 f}{dx^3}(0) \cdot (x - 0)^3+\frac{1}{4!} \frac{d^4 f}{dx^4}(0) \cdot (x - 0)^4=e^0 + e^0 \cdot (x - 0)+ \frac{1}{2\cdot1} e^0 \cdot (x )^2+\frac{1}{1\cdot2\cdot3} e^0 \cdot (x - 0)^3 +\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} e^0 \cdot (x - 0)^4=1 +x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6}+\frac{ x^4 }{24}[/math]

E così via seguendo lo stesso ragionamento di quanto visto fin ora. Se adesso rappresentiamo graficamente queste funzioni, vediamo che aumentando il numero di termini, cioè di

[math]n[/math]
, il valore della serie
[math]T_n(x)[/math]
si avvicina sempre di più al valore della funzione
[math]f(x)[/math]
. Quindi, maggiore è il numero di termini, minore sarà l’errore commesso nell’approssimare la funzione con la serie di Taylor.
Tuttavia, aumentando il numero di
[math]n[/math]
, i calcoli diventano sempre più onerosi, perciò nella maggior parte dei casi si usa troncare la serie ad un numero finito di termini (in genere si approssima ai primi 2/3 termini). In questo modo, quando abbiamo una funzione generica e troppo complessa da studiare, possiamo utilizzare la serie di Taylor per conoscere il suo andamento nell’intorno di un punto, troncando la serie ai primi termini, semplificando notevolmente i calcoli matematici.

Tavola degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari

In questo paragrafo sono riportati gli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari, che possono essere ottenuti seguendo il ragionamento fatto per la funzione esponenziale nel paragrafo precedente.

[math]a^x = 1 + x ln(a) + \frac{x^2}{2} ln^2(a) + \frac{x^3}{6} ln^3(a) + \ldots + \frac{x^n}{n!} ln^n(a) + o(x^n)[/math]

[math]\\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \ldots + \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} + o(x^{2x + 2})[/math]

[math]\\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \ldots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n + 1})[/math]

[math]\text{tg}(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{10})[/math]

[math]\text{cotg}(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2 x^5}{945} + o(x^6)[/math]

[math]\text{sec}(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + o(x^7)[/math]

[math]\text{cosec}(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7 x^3}{360} + \frac{31 x^5}{15120} + o(x^6)[/math]

[math]\text{arcsin}(x) = x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \ldots + \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n + 1)} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\text{arccos}(x) = \frac{\\pi}{2} - x - \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{40} x^5 - \ldots - \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n + 1)} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\text{arctg}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots + \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\text{arccotg}(x) = \frac{\\pi}{2} - x + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + \ldots + \frac{-(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\sinh(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \ldots + \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + o (x^{2n + 2})[/math]

[math]\\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \ldots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})[/math]

[math]\text{tgh}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{10})[/math]

[math]\text{cotgh}(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2 x^5}{945} + o(x^6)[/math]

[math]\text{sech}(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} - \frac{61 x^6}{720} + o(x^7)[/math]

[math]\text{cosech}(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + \frac{7 x^3}{360} - \frac{31 x^5}{15120} + o(x^6)[/math]

[math]\text{settsinh}(x) = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \ldots + (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n + 1)} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\text{setttgh}(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots + \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} + o(x^{2n + 2})[/math]

[math]\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n + o(x^n)[/math]

[math]ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n + o(x^n)[/math]

[math]\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3 + \ldots + {-1}^n\frac{(2n - 1)!!}{(2n + 2)!!} x^{n+1} + o(x^{n+1})[/math]

[math]\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^2 - \frac{5}{24} x^3 + \ldots + {-1}^{n+1} \frac{(2n + 1)!!}{(2n + 2)!!} x^{n+1} + o(x^{n+1})[/math]

[math]o(x^n)[/math]
Rappresenta l'errore che si commette arrestando la sommatoria all'n-esimo elemento. Come detto prima, tanto più grande è n, cioè tanti più termini prendiamo in considerazione nella nostra sommatoria, tanto più piccolo è l'errore
[math]o(x^n)[/math]
.