Trigonometria

Triangolo rettangolo

triangolo_rettangolo.png

Ponendo, per semplicità notazionale:

$ar{AB} = c qquad ar{AC} = b qquad ar{BC} = a$

$A hat{C} B = gamma qquad A hat{B} C = eta$

valgono le seguenti relazioni

 
$b = a sin(eta) = a cos(gamma) qquad c = a sin(gamma) = a cos(eta)$
 
$b = c "tg"(eta) = c "cotg"(gamma) qquad c = b "tg"(gamma) = b "cotg"(eta)$
 

Teorema della corda

teorema_della_corda.png

Sia $R$ il raggio della circonferenza, e sia $alpha$ l’ampiezza dell’angolo alla circonferenza sotteso dalla corda $AB$, allora la lunghezza di $AB$ è

$ar{AB} = 2 R sin(alpha)$

Triangolo qualsiasi

triangolo_qualsiasi.png

Poniamo, per semplicità notazionale

$ar{AB} = c qquad ar{AC} = b qquad ar{BC} = a$

$C hat{A} B = alpha qquad A hat{B} C = eta qquad A hat{C} B = gamma$

valgono le seguenti formule

Area del triangolo: $"Area" = frac{1}{2} ab sin(gamma) = frac{1}{2} bc sin(alpha) = frac{1}{2} ac sin(eta)$

Teorema dei seni: il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell’angolo ad esso opposto è costante, cioè

$frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}$
 
Teorema del coseno (o di Carnot): in ogni triangolo valgono le seguenti relazioni
 
$a^2 = b^2 + c^2 – 2 bc cos(alpha)$
 
$b^2 = a^2 + c^2 – 2 ac cos(eta)$
 
$c^2 = a^2 + b^2 – 2 ab cos(gamma)$
 
Teorema delle proiezioni: in ogni triangolo valgono le seguenti relazioni
 
$a = b cos(gamma) + c cos(eta)$
 
$b = a cos(gamma) + c cos(alpha)$
 
$c = a cos(eta) + b cos(alpha)$
 
Formule di Briggs: chiamando con $p = frac{a+b+c}{2}$ il semiperimetro, in ogni triangolo valgono le seguenti formule di Briggs
 
$sin(frac{alpha}{2}) = sqrt{frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$  $cos(frac{alpha}{2}) = sqrt{frac{p (p-a)}{bc}}$ 
$sin(frac{eta}{2}) = sqrt{frac{(p-a)(p-c)}{ac}}$ $cos(frac{eta}{2}) = sqrt{frac{p (p-b)}{ac}}$ 
$sin(frac{gamma}{2}) = sqrt{frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$ $cos(frac{gamma}{2}) = sqrt{frac{p (p-c)}{ab}}$ 
 
Raggio del cerchio inscritto: in ogni triangolo, detta $A$ l’area e $p$ il semiperimetro, il raggio del cerchio inscritto vale
 
$"raggio del cerchio inscritto" = frac{A}{p} = (p – a) "tg"(frac{alpha}{2}) = (p-b) "tg"(frac{eta}{2}) = (p-c) "tg"(frac{gamma}{2})$
 
Raggio del cerchio circoscritto: in ogni triangolo di area $A$ il raggio del cerchio circoscritto vale
 
$"raggio del cerchio circoscritto" = frac{a}{2 sin(alpha)} = frac{b}{2 sin(eta)} = frac{c}{2 sin(gamma)} = frac{abc}{4 A}$
 
Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura $a$, $b$, $c$:
 
$r_a = frac{A}{p – a} qquad r_b = frac{A}{p – b} qquad r_c = frac{A}{p – c}$
 
dove $A$ indica l’area del triangolo.
 
Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura $a$, $b$, $c$:
 
$m_a = frac{1}{2} sqrt{2 b^2 + 2 c^2 – a^2} qquad m_b = frac{1}{2} sqrt{2 a^2 + 2 c^2 – b^2} qquad m_c = frac{1}{2} = frac{1}{2} sqrt{2 a^2 + 2 b^2 – c^2}$
 
Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza $alpha$, $eta$, $gamma$:
 
$b_{alpha} = frac{2 bc cos(frac{alpha}{2})}{b + c} qquad b_{eta} = frac{2 ac cos(frac{eta}{2})}{a + c} qquad b_{gamma} = frac{2 ab cos(frac{gamma}{2})}{a + b}$
 

 

Commenti

commenti

Ci sono 2 commenti su questo articolo:

  1. Si’ ok averle qui’ sul sito e le faccio i miei complimenti, ma posso averle in un file e averle davanti sotto mano, oppure la scienza e la matematica sono solo fittizi e???