Valore assoluto, funzione segno, parte intera

Valore assoluto

Definizione 

Il valore assoluto è una funzione reale di variabile reale, $|cdot|: mathbb{R} o mathbb{R}$, che associa alla variabile $x$ il numero stesso se $x$ è non negativa, $-x$ se invece $x$ è negativa. Il valore assoluto di $x$ si indica con $|x|$, e risulta

$|x| = {(x, quad "se " x ge 0),(-x, quad "se " x < 0):}$


Di seguito viene riportato il grafico della funzione valore assoluto.
 
valoreassoluto.png

Proprietà del valore assoluto


Il valore assoluto è una funzione definita positiva, in quanto gode delle due seguenti proprietà

$|x| ge 0 quad forall x in mathbb{R}$

$|x| = 0 iff x = 0$


Il valore assoluto è anche una funzione positivamente omogenea, infatti

$|x cdot y| = |x| cdot |y| quad forall x, y in mathbb{R}$

$|frac{x}{y}| = frac{|x|}{|y|} quad forall x in mathbb{R}, quad forall y in mathbb{R} setminus {0}$


Vale anche la disuguaglianza traingolare, ovvero

$|x + y| le |x| + |y| quad forall x, y in mathbb{R}$


Grazie a queste tre condizioni si può affermare che il valore assoluto è una norma. Conseguenza diretta della disuguaglianza triangolare è la seguente

$||x| – |y|| le |x – y| quad forall x, y in mathbb{R}$


Inoltre, per ogni $n in mathbb{N}$ pari, risulta

$
oot{n}{x^n} = |x| quad forall x in mathbb{R}$


Le seguenti proprietà, utili per la risoluzione di equazioni e disequazioni con valori assoluti, sono conseguenza diretta della definizione

$|x| = |c| implies x = pm c$

$|x| = c implies x = pm c$

$|x| le c implies {(
exists x in mathbb{R}, quad "se " c < 0),(x = 0, quad "se " c = 0),(-c le x le c, quad "se " c > 0):}$

$|x| < c implies {(
exists x in mathbb{R}, quad "se " c le 0),(-c < x < c, quad "se " c > 0):}$

$|x| ge c implies {(x in mathbb{R}, quad "se " c le 0),(x le -c vee x ge c,  quad "se " c > 0):}$

$|x| > c implies {(x in mathbb{R}, quad "se " c < 0),(x
e 0, quad "se " c = 0),(x < -c vee x > c, quad "se " c > 0):}$


Infine il valore assoluto di un numero può anche essere espresso per mezzo del massimo fra $x$ e $-x$

$|x| = max {x, -x} quad forall x in mathbb{R}$
 

Funzione segno

Definizione

La funzione segno è una funzione reale di variabile reale, $"sgn": mathbb{R} o mathbb{R}$, che vale $1$ quando il suo argomento è positivo, $-1$ quando il suo argomento è negativo, $0$ atrimenti. In formule

$"sgn"(x) = {(1, quad "se " x > 0),(0, quad "se " x = 0),(-1, quad "se " x < 0):}$


Di seguito viene riportato il grafico della funzione segno.
 
segno.png


Proprietà della funzione segno

Proprietà della funzione segno

 

$|x| = x cdot "sgn"(x) quad forall x in mathbb{R}$

$"sgn"(x) = frac{|x|}{x} = frac{x}{|x|} quad forall x in mathbb{R} setminus {0}$


Parte intera

 

Parte intera

Definizione

Dato un numero reale $x$, si definisce parte intera superiore di $x$, e si indica con $lceil x
ceil$, il più piccolo intero non minore di $x$. Analogamente si indica la parte intera inferiore di $x$ come il più grande intero minore o uguale di $x$, e si indica con $lfloor x
floor$. Sono riportati di seguito i grafici delle funzioni parte intera superiore e inferiore, rispettivamente.

parteinterasuperiore.png


parteinterainferiore.png

 

Proprietà della parte intera

Proprietà


$lfloor x
floor = x = lceil x
ceil iff x in mathbb{Z}$

$lfloor lfloor x
floor
floor = lfloor x
floor quad forall x in mathbb{R}$

$lceil lceil x
ceil
ceil = lceil x
ceil quad forall x in mathbb{R}$

$lfloor x + y
floor = x + lfloor y
floor quad forall (x,y) in mathbb{Z} imes mathbb{R}$

$lceil x + y
ceil = x + lceil y
ceil quad forall (x,y) in mathbb{Z} imes mathbb{R}$

$lfloor x
floor le x < lfloor x
floor + 1 quad forall x in mathbb{R}$

$x le lceil x
ceil < x + 1 quad forall x in mathbb{R}$

$lceil x
ceil = – lfloor -x
floor quad forall x in mathbb{R}$

$x = lfloor frac{x}{2}
floor + lceil frac{x}{2}
ceil quad forall x in mathbb{Z}$


Infine, se $m$ e $n$ sono due interi primi fra di loro, risulta

$sum_{i=1}^{n-1} lfloor i frac{m}{n}
floor = frac{(m-1)(n-1)}{2}$

Commenti

commenti

Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. Riguardo all’ultima proprietà della parte intera: se m e n non sono primi tra loro, a cosa è uguale la medesima somma? Chi lo sa risponda.