altri problemi di trigonometria

Messaggioda caseyn27 » 19/05/2010, 20:32

in una circonferenza di raggio di misura r si consideri il diametro EF. Preso su EF un punto H, si costruisca il triangolo equilatero DEC, avente D e C interni al cerchio, in modo che EH rappresenti un'altezza del triangolo. Si determini la misura di EH in modo che, condotta la parallela a EH per D, e detta A l'intersezione con la circonferenza situata dalla parte opposta di E rispetto alla retta DC, si abbia AD=DC. Calcolare l'ampiezza di AEH. (EH=$(r/2) sqrt(3)$ ; AEH=15°)

dopo aver calcolato che la metà della base = CH = EH tg30° =$sqrt(3)/2 EH$ cosa devo fare?







In una circonferenza di centro O e raggio di misura r, la corda AB è il lato del triangolo equilatero inscritto. Condotta per B la semiretta, tangente alla circonferenza, che giace rispetto alla retta AB, nel semipiano che contiene il centro O, determinare su tale semiretta un punto C in modo che
1) la misura del perimetro del triangolo ABC sia maggiore o uguale a $(2sqrt(3)+3)r$
( Si ponga BAC =x si otterà una disequazione...)
2) Sia verificata la relazione $4/9AC^2+1/3BC^2>=6(2+sqrt(3))r^2$
altra disequazione...


sapendo che in una circonferenza r=abc/4s mi posso calcolare il lato in funzione di r, ma non so come arrivare poi ad AC E BC chiamando BAC=x...
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Messaggioda caseyn27 » 20/05/2010, 21:08

Vorrei qualche aiuto. Mi trovo in difficoltà...
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Messaggioda Nicole93 » 21/05/2010, 14:36

intanto ti do un aiuto per il primo problema

l'ampiezza dell'angolo l'avrei ricavata così :
il triangolo ADC è rettangolo isoscele, in quanto, per ipotesi, AD=DC, quindi avrà : $ChatAD=AhatCD=45$
traccia ora il segmento AE e considera il triangolo AEC
vediamo gli angoli:
$AhatEC=30+x$ dove $x=AhatEH$ ; $EhatCA=60+45=105$ , $ChatAE=180 -(105+30+x)=45-x$
ma sappiamo che $ChatAD=45$ , quindi dall'uguaglianza precedente deduco che $EhatAD=x$
ma il triangolo ADE è isoscele , in quanto AD=DE, quindi sarà anche $DhatEA=EhatAD=x$

concludendo, avremo che $DhatEH=2x=30$ , da cui $x=15$

P.S. per dedurre che $EhatAD=x$ bastava anche pensare alle due rette parallele AD ed EH tagliate da EA
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Messaggioda caseyn27 » 21/05/2010, 18:20

per il secondo problema, dato che ADH e AOH sono uno un angolo alla circonferenza e l'altro un angolo al centro che insistono sullo stesso arco, ADH=60°. Quindi AOB=120 ed essendo AOB isoscele allora l'angolo ABO=BAO=$(180-120)/2=30$.
Sapendo che $AH=1/2AB$ calcolo che $AB=rsqrt(3)$ e applicando il teorema del seno al triangolo ACB (con BAC=x,ABC=120°,ACB=60°-x) mi trovo AC e AB in funzione di r. Ma non mi trovo con il risultato del libro.

dovrebbe venire una disequazione $2sex-2cosx >=1-sqrt(3)$ risultato $30°<=x<=60°
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Messaggioda Nicole93 » 21/05/2010, 19:32

non ho capito bene a cosa corrispondano le lettere D ed H
comunque, se congiungi O con A e B, il triangolo AOB è isoscele; l'angolo $AhatOC=120$ , quindi gli angoli $OhatAB=OhatBA=30$
allora $AhatBC=90+30=120$
a questo punto potresti provare ad esprimere i lati BC e AC in funzione di x applicando il teorema dei seni
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Messaggioda caseyn27 » 21/05/2010, 19:35

si così ho fatto, solo che non mi trovo con i calcoli
D è il vertice e H è il piede dell'altezza
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Messaggioda Nicole93 » 21/05/2010, 20:12

applicando due volte il teorema dei seni la disequazione viene come quella del libro, ma bisogna lavorarci un po' su
all'inizio infatti è:
$sqrt3+(sqrt3*senx)/(sen(60-x))+3/(2(sen(60-x)))>=2sqrt3+3$
poi si può dividere tutto per $sqrt3$, ridurre allo stesso denominatore, applicare la formula di sottrazione del seno, ed effettuare un raccoglimento
alla fine avrai:
$(1+sqrt3)(senx-cosx)>=-1$
dividi -1 per il coefficiente di senx-cosx, razionalizza ed avrai l'equazione del libro
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