cerchio osculatore e raggio di curvatura

[furetto1]

Sapreste dirmi come si trova il raggio di curvatura di una traiettoria in un determinato punto? Da esempio nel moto dei proiettili nel punto iniziale di lancio, nel punto di massima altezza e nel punto in cui il proiettile cade, quando vale il raggio di curvatura?

[Camillo]

Se la traiettoria è data in forma cartesiana come $ y = y(x) $ allora il raggio di curvatura , che concide col raggio del circolo osculatore vale : $ [1+ y'(x)^2]^(3/2)/|y''(x)|$.

Camillo

[karl]

Per evidenti ragioni di simmetria i raggi di curvatura all'inizio e alla fine del moto sono
uguali e quello nel punto di massima altezza sara' la loro media e quindi
coincide con essi.Tale raggio ,calcolato con le formule gia' indicate da Camillo,e' dato da:
$R=(v_o^2)/(gcosalpha)$
dove $v_o,g,alpha$ sono nell'ordine :la velocita' iniziale,l'accelerazione di gravita'
nel punto dove si lancia e l'angolo di tiro.
Archimede

[MaMo]

Per evidenti ragioni di simmetria i raggi di curvatura all'inizio e alla fine del moto sono
uguali e quello nel punto di massima altezza sara' la loro media e quindi
coincide con essi.Tale raggio ,calcolato con le formule gia' indicate da Camillo,e' dato da:
$R=(v_o^2)/(gcosalpha)$
dove $v_o,g,alpha$ sono nell'ordine :la velocita' iniziale,l'accelerazione di gravita'
nel punto dove si lancia e l'angolo di tiro.
Archimede

La cosa non mi è chiara. Il raggio di curvatura, nel punto più alto, si ricava dalla formula dell'accelerazione radiale che in quel punto coincide con l'accelerazione di gravità g. Si ha perciò:
$a_r=v_x^2/R => g = (v_0^2 cos^2alpha)/R$
Da questa si ottiene:
$ R= (v_0^2cos^2alpha)/g$

[karl]

@mamo
Hai ragione :nel sostituire il tempo medio nelle formula di R ho sbagliato un passaggio!
(meno male che di questo mio errore ne siamo a conoscenza solo io e te !!!)
Le formule esatte sono quindi:
$R_i=R_f=(V_o^2)/(gcosalpha) ,R_v=(V_o^2cos^2alpha)/g$
Archimede

[furetto1]

e nel caso in cui lancio il proiettile in ORIZZONTALE (0°) da una torre alta 50m a una certa velocità iniziale quanto vale il raggio di curvatura nell'stante del lancio e quando il sasso cade al suolo?

[karl]

Se non ho fatto errori dovrebbe essere:
$R_v=V_o^2/(g) ,R_f=((V_o^2+2hg)^(3/2))/(V_og)$
A tanto puoi arrivare da solo applicando le formule che ti abbiamo
suggerito e quelle di un corpo lanciato ,ad una certa velocita' iniziale,sotto
l'azione delle gravita'.
Archimede

[furetto1]

scusa potresti dirmi come hai ragionato?

[karl]

Assumendo l'asse y orientato verso l'alto ed il corpo nella posizione (0,h) l'equazione
della traiettoria e' la parabola di equazione (indicando per semplicita' la velocita'
iniziale con v ):
$y=h-(gx^2)/(2v^2)$ da cui $y'=-(gx)/(v^2),y''=-g/(v^2)$
Pertanto il raggio di curvatura in un generico punto di ascissa x della traiettoria
sara' (con qualche calcolo):
$R=((v^4+g^2x^2)^(3/2))/(gv^4)$
Nell'istante iniziale e' x=0 e quindi $R=v^2/g$ ,valore che si puo' ottenere anche per $alpha =0$
dalla 3° formula del precedente post.
L'istante finale e' quello in cui e' y=0 ovvero per $x=vsqrt((2h)/g)$ e sostituendo
tale valore nella formula di R si ha l'altro risultato.
Archimede

[DomandAle]

uhm... "con qualche calcolo".... in realtà non ho proprio capito da dove sei partito. Potresti essere più esplicito sui passaggi effettuati per l'ultima formula ?