codominio

[Noemi]

salve,avrei da fare degli esercizi che richiedono di determinare il campo di esistenza e il codominio di alcune funzioni,ne scrivo solo tre perchè vorrei capire come si fanno questa genere di es:

y=ln(2-x)

per il CE tutto ok...quando mi devo calcolare il codominio(senza grafico,xkè non l'abbiamo fatto )non so come fare,avevo l'intenzione di trovarmi l'inversa,almeno che sia giusto avevo pensato che veniva y^e=2-x,da cui -y^e+2=x e poi?non so continuare

l'altro era:
y=x^2-2x
anche qui il CE tutto ok,per il codominio stesso problema,pensavo di scriverla come x^2-2x+y=0 e poi svolgerla come un'equazione di 2°grado,trovandomi che il delta vale y+1=0 ma poi che faccio?

l'altro era
y=1-sen 1/x
anche per questo il CE è ok,ma per il codominio non so completamente come fare..pensavo ad imporre la condizione che il sen doveva essere compreso tra -1 e 1 ma poi non so che fare,perchè facendo il mcm mi resta xy=x-sen che non credo abbia senso

grazie se potete darmi una mano ,perchè nel mio libro non c'è spiegato..

[adaBTTLS]

non so che cosa tu possa utilizzare. un modo (che poi non è molto diverso però dal considerare il grafico) potrebbe essere quello di considerare la continuità delle funzioni ed alcuni valori dei limiti.
ad esempio, per la prima, avendo trovato il dominio, è opportuno trovare il limite per $x->-oo$ e per $x->2^-$.
per la seconda i limiti per x che tende a + e - infinito e il "vertice della parabola".
per la terza puoi considerare la variabilità della funzione seno e verificare che effettivamente sen(1/x) assume tutti i valori compresi tra -1 ed 1, per cui il codominio risulterebbe [0,2], ...

fammi sapere se è chiaro. ciao.

[Noemi]

ancora non abbiamo fatto i limiti,per questo provavo calcolandomi la funzione inversa,non so in che altro modo si possa fare
grazie cmq.

[sylowww]

Un metodo generale (elementare) per trovare il codominio di una funzione y = f(x) è il seguente: il codominio della funzione è l'insieme dei valori di y per cui l'equazione y = f(x) (nell'incognita x ) ha almeno una soluzione reale.

Per esempio: per quali valori di y l'equazione y = ln(2-x) ha soluzioni in x ? Per tutti i valori di y infatti :
da y=ln(2-x) segue 2-x=e^y e quindi x=2-e^y (la soluzione c'è per ogni y!!)
Quindi il codominio è costituito da tutti i possiibli valori di y , ovvero dall'insieme R.

Per quali valori di y l'equazione y = x^2-2x ha soluzioni in y?
L'equazione equivale a x^2-2x-y=0 e ha soluzioni se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a 0, da cui la condizione: 4+4y>=0 e quindi y>=-1. Il codominio è quindi l'intervallo [-1,+infinito).

Per quali valori di y l'equazione y = 1-sin(1/x) ha soluzioni?
L'equazione equivale a sin(1/x)=1-y che ha soluzioni se e solo se -1<=1-y<=1, da cui l'intervallo [0,2].

[Noemi]

grazie mille,ora ho capito

[squonk]

Per quali valori di y l'equazione y = 1-sin(1/x) ha soluzioni?
L'equazione equivale a sin(1/x)=1-y che ha soluzioni se e solo se -1<=1-y<=1, da cui l'intervallo [0,2].

Scusate se riprendo questo vecchio post, ma stavo facendo esercizi sulla ricerca del codominio e sono finito in questo thread.
Volevo solo segnalare che la soluzione qui sopra riportata è incompleta.
Infatti risolvendo in x l'equazione $y = 1-sin(1/x)$ risulta:

$sin(1/x)=1-y$
$1/x=arcsin(1-y)$
$x=1/arcsin(1-y)$

allora l'esistenza dell'arcoseno è già riporta sopra (il suo insieme di definizione è proprio $-1<=1-y<=1$ da cui $0<=y<=2$), ma deve anche essere che il denominatore deve risultare diverso da 0:

$arcsin(1-y)!=0 => 1-y!=0 => y!=1$

quindi il codominio della funzione di partenza risulta $0<=y<=2 ^^^ y!=1$

Ciao
Maurizio