Codominio vs Immagine

Messaggioda Steven » 07/05/2008, 17:50

A scuola non ho mai sentito parlare di "immagine", ma solo di dominio e codominio.
Quando mi sono andato a leggere la definizione di immagine, mi è sembrata equivalente al codominio, poi però ho ricordato che qui nel forum una volta lessi che c'è una precisa distinzione.
Cercando, ho trovato
http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... hp?num=418

Io sapevo che, data
$y=f(x)$
il dominio è l'insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente $x$, il codominio l'insieme di valori che può assumere $y$.
Leggendo, mi pare però di capire che quello che io credo essere il codominio, è in realtà l'immagine.

Quindi il codominio non è l'insieme dei valori che può assumere, ma un insieme d'appartenenza che io scelgo di questi valori.
Ad esempio, prendiamo
$f: RR->RR$
$f(x)=sinx$
Quindi:
Dominio: $RR$
Codominio: $RR$
Immagine: $[-1;+1]$
E' giusto?

ps: qual'è l'utilità di distinguere immagine e dominio?

Grazie in anticipo, buona serata.
Ciao.
Steven
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Re: Codominio vs Immagine

Messaggioda Tipper » 07/05/2008, 19:39

Steven ha scritto:$f: RR->RR$
$f(x)=sinx$
Quindi:
Dominio: $RR$
Codominio: $RR$
Immagine: $[-1;+1]$
E' giusto?

Giusto.

Steven ha scritto:ps: qual'è l'utilità di distinguere immagine e codominio?

Una funzione è, prima di tutto, una particolare relazione fra due insiemi. Per prima cosa devi dire dunque quali sono questi due insiemi (dominio e codominio), poi specifichi come agisce la funzione su tali insiemi, e da qui puoi dire qual è l'immagine.
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Messaggioda Steven » 07/05/2008, 19:49

Grazie.

Visto che ci sono, si può anche trovare una relazione tra insieme diversi?
Prendiamo la funzione di prima, ma diciamo
$f:RR->ZZ$
$y=sinx$
Ora direi:
Dominio $RR$
Codominio $ZZ$
Immagine $-1,0,+1$

Volendo trovare la controimmagine,, devo dire che è formata da quegli $x$ che mi restituiscono, con $f(x)$, i valori di $-1,0,+1$, ovvero l'insieme
$x=kpi/2 \ \ \ kinZZ$
Corretto tutto?

Ciao :wink:
Steven
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Messaggioda Cheguevilla » 07/05/2008, 19:50

Puoi considerare il codominio come l'insieme in cui può essere contenuta la funzione, mentre l'immagine è l'insieme di tutti e soli i punti della funzione.
Così come esiste una differenza tra dominio e campo di esistenza, su cui vale la pena riflettere.
Soprattutto in economia...
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Messaggioda Steven » 07/05/2008, 19:53

Così come esiste una differenza tra dominio e campo di esistenza, su cui vale la pena riflettere.

Purtroppo fino ad ora ho sempre sentito parlare di "campo di esistenza" e "dominio" come sinonimi.
Soprattutto in economia...

Mi interessa l'importanza della cosa in economia. Puoi spenderci due righe? :wink:

Ciao.
Steven
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Messaggioda Tipper » 07/05/2008, 19:54

Steven ha scritto:Grazie.

Visto che ci sono, si può anche trovare una relazione tra insieme diversi?
Prendiamo la funzione di prima, ma diciamo
$f:RR->ZZ$
$y=sinx$
Ora direi:
Dominio $RR$
Codominio $ZZ$
Immagine $-1,0,+1$

Volendo trovare la controimmagine,, devo dire che è formata da quegli $x$ che mi restituiscono, con $f(x)$, i valori di $-1,0,+1$, ovvero l'insieme
$x=kpi/2 \ \ \ kinZZ$
Corretto tutto?

Ciao :wink:

Prima di tutto una cosa sulla notazione. Se definisci $f: A \to B$, poi non scrivere $y = "qualcosa"(x)$, ma $f(x) = "qualcosa"(x)$. Detto questo, la funzione non mi pare ben definita, nel senso che se il dominio è $\mathbb{R}$, la $f$ andrebbe ad assumere valori che non stanno nel codominio. Se vuoi avere come codominio $\mathbb{Z}$ dovresti definire diversamente il dominio (ricorda che l'immagine di una funzione è un sottoinsieme - proprio o impropio - del codominio).
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Messaggioda Cheguevilla » 07/05/2008, 20:10

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori per cui la funzione esiste.
Ad esempio, nel caso della tangente, il campo di esistenza è $x inRR:x!=\pi/2+k\pi$.
Il dominio è l'insieme su cui la funzione è definita.
Ad esempio, alla luce di queste considerazioni, la tangente è una funzione continua nel suo dominio.

In ambito economico, la questione è variegata.
Esistono molte funzioni che, separate dal loro contesto economico, avrebbero risultati reali. Tuttavia, molte volte si decide di escludere i valori negativi, perchè talvolta non avrebbero senso.
Esempio stupido:
Il tuo consulente personale ti dice: "Ti propongo un piano di investimento il cui rendimento è pari a $x^2$".
La risposta migliore che tu potresti dare sarebbe: dammi 1 milione di euro (o qualcosa di più).
Tuttavia, ci si rende presto conto che così non può funzionare...
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Messaggioda Martino » 07/05/2008, 20:35

Steven ha scritto:$f:RR->ZZ$
$y=sinx$
Ora direi:
Dominio $RR$
Codominio $ZZ$
Immagine $-1,0,+1$


No: $f:RR to ZZ$ significa che la f "assume valori reali e produce valori interi". E questo evidentemente non è vero (per esempio $sin(pi/4)=sqrt{2}/2$ non è intero, e $pi/4$ è reale).

Fai benissimo ad interessarti alla distinzione tra codominio e immagine :D hai la mia totale approvazione.

A me subito sembravano due concetti confondibili, ma non è per niente vero. Un esercizio che aiuta molto a capire è il seguente ("del tipo" seguente): quante sono le funzioni di dominio ${1,2,3}$ e codominio ${1,2,3,4}$?

Lieto se vorrai pensarci :-D
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Messaggioda Steven » 07/05/2008, 20:37

Tipper ha scritto: Detto questo, la funzione non mi pare ben definita, nel senso che se il dominio è $\mathbb{R}$, la $f$ andrebbe ad assumere valori che non stanno nel codominio. Se vuoi avere come codominio $\mathbb{Z}$ dovresti definire diversamente il dominio (ricorda che l'immagine di una funzione è un sottoinsieme - proprio o impropio - del codominio).

Ah ok.
Quindi, volendo correggere, dovrei dire che il dominio è
$x=kpi/2$ ovvero l'immagine di prima. In questo caso poi, dominio e immagine coincidono.
Dico bene?

Se invece ho
$f: RRtoRR$
$f(x)=sqrtx$
è giusto dire che come dominio e codominio ho $RR$, e come immagine e controimmagine ho $RR^+$ ?
Scusa il disturbo.
Cheguevilla ha scritto:
Il campo di esistenza è l'insieme dei valori per cui la funzione esiste

Cheguevilla ha scritto:Il dominio è l'insieme su cui la funzione è definita.

Per vedere se ho capito: prendendo
$f(x)=((x),(k))$
ho: la funzione è definita (dominio) se $x\inNN$, la funzione esiste (C.E) se $x>=k$
Confermate?

Buona serata e grazie.
Steven
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Messaggioda Steven » 07/05/2008, 20:39

Ciao Martino, non avevo visto il messaggio.
Martino ha scritto: Un esercizio che aiuta molto a capire è il seguente ("del tipo" seguente): quante sono le funzioni di dominio ${1,2,3}$ e codominio ${1,2,3,4}$?

Lieto se vorrai pensarci :-D

Sicuro, ora scappo a cena. Come dicono nei film, "mi faccio vivo io" :wink:
Ciao.
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