Compendio [discussioni di Algebra]

Messaggioda Martino » 21/04/2011, 13:00

Giusto per fare un po' di inventario, vorrei raccogliere qui le discussioni che ritengo più interessanti di algebra che sono state fatte su questo forum, e quelle che trattano di esercizi tipici in modo abbastanza generale. Naturalmente metto quelle che conosco e che sono riuscito a trovare, se ne avete altre da segnalarmi vi ringrazio :D

Vorrei inoltre che questa raccolta venisse usata in particolare per indirizzare bene chi chiede aiuto per esercizi, dato che spesso tanti riguardano la stessa cosa.
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Generalità.

Codominio vs Immagine.

Induzione.

Relazioni di equivalenza.

Relazioni d'ordine.

Elementi massimali e minimali rispetto a una relazione.

Ordine di elementi di un gruppo ciclico.

La funzione \( \displaystyle \varphi \) di Eulero.

Sulle coppie ordinate (1).
Coppia ordinata (2).

Sull'assioma della scelta (1),
Sull'assioma della scelta (2),
Sull'assioma della scelta (3).

Zero alla zero.
Applicazioni dall'insieme vuoto e zero alla zero.

Sulla definizione di funzione.

Sulla definizione di polinomio.

Polinomi e funzioni polinomiali.

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Cose generali sui gruppi.

Come decomporre in cicli disgiunti.

Calcolo dei quozienti.

Problemi di teoria dei gruppi.

Prodotto semidiretto.

Il coniugio preserva la struttura ciclica.

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Contare gli omomorfismi tra gruppi.

In generale se \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) sono due gruppi finiti il numero di omomorfismi \( \displaystyle A \to B \) di immagine \( \displaystyle I \leq B \) (chiamiamo questo numero \( \displaystyle h_I \) ) è uguale al numero di sottogruppi normali \( \displaystyle C \) di \( \displaystyle A \) tali che \( \displaystyle A/C \cong I \) moltiplicato per il numero di automorfismi di \( \displaystyle I \) . Il numero di omomorfismi \( \displaystyle A \to B \) è la somma \( \displaystyle \sum_{I \leq B} h_I \) .

\( \displaystyle C_3 \times C_3 \to S_7 \) .

\( \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) .

\( \displaystyle S_3 \to S_3 \)

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Cose deducibili dall'ordine di un gruppo.

Quando ogni gruppo di ordine \( \displaystyle n \) è ciclico.

I gruppi di ordine 2010.

Gruppi di ordine \( \displaystyle p q^2 \) , con \( \displaystyle p \neq q \) primi.

Gruppi di ordine \( \displaystyle pqr \) , con \( \displaystyle p < q < r \) primi.

Ciclicità dei 2-Sylow.

Sui gruppi di un dato ordine.

Gruppo di ordine \( \displaystyle 231 \) .

Sull'inversione del teorema di Lagrange.

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Semplicità di gruppi.

Semplicità di un gruppo dato il suo ordine.

Caratterizzazione coi massimali di \( \displaystyle S \times S \) .

\( \displaystyle S^n \) con \( \displaystyle S \) semplice.

Semplicità di \( \displaystyle A_n \) per \( \displaystyle n \geq 5 \) .

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Risolubilità di gruppi.

\( \displaystyle S_4 \) è risolubile e non nilpotente.

Risolubilità di un gruppo di ordine \( \displaystyle p^mq \) .

Indice di un massimale in un risolubile.

Teoria di Hall.

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Automorfismi di gruppi.

In generale sugli automorfismi.

Gruppi con un solo automorfismo.

Automorfismi di un gruppo di ordine \( \displaystyle p^2 \) .

Automorfismi del gruppo abeliano elementare \( \displaystyle {C_p}^n \) .

Automorfismi dei gruppi ciclici.

Automorfismi esterni: \( \displaystyle \text{Out}(G) \) .

Automorfismi del gruppo simmetrico.

\( \displaystyle \text{Aut}(A_6) \)

Automorfismi del gruppo diedrale.

Automorfismi del gruppo dei quaternioni.

Estendere automorfismi.

Invertire tanti elementi (almeno i tre quarti).

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\( \displaystyle p \) -gruppi.

Un gruppo di ordine 64.

Sui gruppi di ordine \( \displaystyle p^2 \) .

p-gruppi non abeliani.

Ogni massimale di un \( \displaystyle p \) -gruppo finito è normale.

Gruppi Hamiltoniani e quaternioni (generalizzati).

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Azioni di gruppi.

Generalità sulle azioni.

Gruppi di Frobenius.

Sui gruppi semplici di ordine \( \displaystyle p^a \cdot 15 \) .

Basi e punti mossi.

Gruppi primitivi (in inglese).

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Rappresentazioni di gruppi

Estensione caratteri di gruppi abeliani.

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Gruppi topologici.

I gruppi metrici completi sono non numerabili o discreti.

\( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) e generalità.

Gruppi topologici localmente compatti.

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Altro/varie sui gruppi.

Il gruppo diciclico di ordine 12.

Una stima del numero di classi di coniugio di un gruppo finito.

Sottogruppi di \( \displaystyle (\mathbb{Q},+) \) .

\( \displaystyle (\mathbb{R},+) \cong (\mathbb{R} \times \mathbb{R},+) \) .

Frattini e Fitting.

Gruppi con centro banale.

Ultrafiltri e gruppi.

Realizzare un gruppo come sottogruppo derivato di un altro gruppo.

Gruppi con un dato numero di sottogruppi.

Maratona problemi di teoria dei gruppi.

Dotare un insieme di una struttura di gruppo.

Strutture di gruppo nel mondo.

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Anelli e campi.

Il campo con quattro elementi.

Un anello in cui ogni ideale è primo è un campo.

L'intersezione degli ideali primi coincide col nilradicale.

Il prodotto dei polinomi irriducibili su \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) di grado che divide \( \displaystyle n \) .

Un anello in cui \( \displaystyle a^3=a\ \forall a \) e un teorema di Jacobson.

Trascendenza.

Calcolo di quozienti di anelli.

Numeri algebrici e interi algebrici.

Elementi puramente inseparabili.

Omomorfismi \( \displaystyle A[x_0,...,x_n] \to \mathbb{Q} \) .

Ciclicità del gruppo moltiplicativo di un campo finito.

Realizzare un gruppo come gruppo delle unità di un anello.

Anelli semplici.

Idempotenti e prodotti diretti.

Campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$.

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Teoria dei numeri.

Problema del numero di classi.

Primi congrui a \( \displaystyle 1 \) modulo \( \displaystyle 4 \) .

Successione di Fibonacci.

Domini di Dedekind.

Formula di inversione di Moebius.

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Teoria di Galois.

\( \displaystyle X^3-3X+1 \) .

\( \displaystyle X^4-2 \) .

\( \displaystyle X^7-1 \) .

Cubiche e quartiche.

Una chiusura di Galois.

Norma.

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Categorie.

Categorie additive e preabeliane.

Sul limite induttivo.

Pullback.

Prefasci.

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Geometria algebrica e algebra commutativa.

Segnalo innanzitutto la panoramica (in costruzione) a cura di Mauro Porta.

Un prodotto di campi ha dimensione di Krull 0.

Anelli artiniani.

Decomposizione primaria di ideali.

Anelli normali.

Moduli iniettivi.

Un morfismo di varietà affini.

Come preservare i punti chiusi.

Sulla compattificazione di Stone-Cech.

Se \( \displaystyle X \) è uno spazio normale allora \( \displaystyle X \cong \text{Specmax}(C(X,\mathbb{R})) \) .

Sugli schemi integri.

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Geometria.

Gruppo fondamentale di \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) meno due rette e di due circonferenze.

Gruppo fondamentale di \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) meno \( \displaystyle n \) rette passanti per uno stesso punto.

Orientabilità di una varietà topologica e/o differenziabile.

Esercizi di topologia algebrica.

Eckmann-Hilton e abelianità dei gruppi di omotopia.

[Analisi Complessa] Punti singolari.

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Cose varie di algebra.

Teorema fondamentale dell'algebra: dimostrazioni.

Dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra.

Dimostrazione armonica del teorema fondamentale dell'algebra.

Un po' di algebra in teoria degli insiemi.
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Varie.

Identificare un polinomio a coefficienti interi.

Fattorizzazioni quasi-ciclotomiche.

Riducibilità di \( \displaystyle (X-a_1) \cdots (X-a_n) \pm 1 \) .
Ultima modifica di Martino il 20/04/2015, 20:04, modificato 3 volte in totale.
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Re: Inventario [Vademecum-Compendio-Raccolta] (Algebra)

Messaggioda hamming_burst » 30/10/2011, 18:55

Grazie! molto utile questo indice :-)

segnalo che questo post linkato nell'indice, non viene mostrato bene per via del nuovo parser delle formule (mancano alcuni \$), se interessa lo ho sistemato qui in spoiler :-)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$X = NN x NN$

$(a,b)\rho(c,d) : \{(a+d > b +c),(a+d = b+c ; a\leqc):}$

Anzitutto dimostriamo le tre proprietà Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva.

Riflessiva:

$(a,b)\rho(a,b)$

$a+b = b+a$ e $a\leqa$

Antisimmetrica:

$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(a,b)$

$a+d>b+c$ e $c+b>d+a$ assurdo quindi $a+b=b+c$
Quindi: $a+d=b+c$ con $a\leqc$ e $c+b=d+a$ con $c\leqa$.
da $a\leqc$ e $c\leqa$ possiamo dedurre che $a=c$ e quindi da $a+d=b+c$ con $a=c$, $b=d$.

Transitiva:

$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(e,f)$ quindi $(a.b)\rho(e,f)$

$a+d>b+c$ e $c+f>d+e$ quindi facendo qualche passaggio
$a-b > c-d$ e $c-d>e-f$ quindi si conclude che $a-b>e-f$ che scritto come da relazione è: $a+f>b+e$

Se invece $a+d=b+c$ e $a\leqc$ ; $c+f=d+e$ e $c\leqe$ possiamo subito dire che $a\leqe$ e poi facendo i passaggi di cui sopra concludiamo che $a+f=b+e$
E conclusione delle conclusioni $(a,b)\rho(e,f)$.

Ora troviamo elementi Massimali e Minimali, qui m'ingrabuglio sicuro...

Massimali:
C incluso uguale X
$(x,y)\inX$ tale che $forallc,d \inC$ , $(x,y)\ne(c,d)$ $(x,y)(c,d)\notinX$ giusto?

Allora se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è massimale poichè con $(c,d)>0$ e $d>c$ otteniamo $0+d>0+c$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è massimale poichè se $d>y$ e $c<x$ abbiamo che $x+d>y+c$ che $\inX$ esempio: $x=1$ $y=1$ $d>1$ e $c<1$ quindi $1+2>1+0$
Se $x>0$ e $y=0$ non è massimale poichè basta $c<x$ e $d=0$
Se $x=0$ e $y>0$ non è massimale poichè $d>y$ e $c=0$ sarebbe $\inX$


Minimali:

C incluso uguale X

$(x,y)\inX$ $\forall a,b \in C$ $(a,b)\ne(x,y)$ e $(a,b)(x,y)\notinX$

Se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè con $(a,b)>0$ e $a>b$ otteniamo $a+0>b+0$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è minimale poichè se $a>x$ e $b<y$ abbiamo che $a+y>b+x$
Se $x>0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè basta che $a>x$ e $b=0$ lo stesso vale per $x=0$ e $y>0$ basta che $b<y$ e $a=0$
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Re: Inventario [Vademecum-Compendio-Raccolta] (Algebra)

Messaggioda Martino » 19/12/2011, 16:41

hamming_burst ha scritto:segnalo che questo post linkato nell'indice, non viene mostrato bene
Ho sistemato l'intervento di whiterabbit, grazie per la segnalazione!
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Re: Inventario [Vademecum-Compendio-Raccolta] (Algebra)

Messaggioda step45 » 20/01/2012, 00:23

Martino, dove è stato preso l'esercizio del topic "Se $ X $ è uno spazio normale allora $ X≅Specmax(C(X,R)) $ " ?
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Re: Inventario [Vademecum-Compendio-Raccolta] (Algebra)

Messaggioda Martino » 20/01/2012, 10:14

step45 ha scritto:Martino, dove è stato preso l'esercizio del topic "Se $ X $ è uno spazio normale allora $ X≅Specmax(C(X,R)) $ " ?
"Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").

Ho inserito la fonte anche nel filone interessato, grazie.
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Re: Inventario [Vademecum-Compendio-Raccolta] (Algebra)

Messaggioda step45 » 20/01/2012, 15:23

Grazie !
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