Da dove si ricava la formula:$x=(-1)^k*arcsin(alpha)+kpi$?

Messaggioda lordb » 03/05/2011, 18:55

Ciao a tutti,
come da titolo mi riferisco alla formula unica per le soluzioni dell'equazione fondamentale per il seno: $sin(x)=alpha ^^ -1<=alpha<=1$

le soluzioni sono:

$ x=arcsin(alpha)+2kpi $$V$ $x=pi-arcsin(alpha)+2kpi $

Il significato di questi risultati è chiaro: vi sono due angoli $x ^^ 0<=x<=2pi$ con seno $alpha$, ovvero l'angolo $x$ e il suo supplementare $pi-x$ entrambi naturalmente sommati al periodo tipico della funzione seno $2pi$ moltiplicato per una qualsiasi costante $kinZZ$

Ora, su wikipedia ho visto che queste soluzioni possono essere concentrate in un'unica equazione:

$x=(-1)^k*arcsin(alpha)+kpi$

Tuttavia non mi è chiaro come si ricavi..


Grazie in anticipo:D
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Messaggioda Gi8 » 03/05/2011, 19:38

Di seguito userò i simboli $cc(P)$ e $cc(D)$.
Essi stanno a significare, rispettivamente, l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari.


$ x=arcsin(alpha)+2kpi$, con $k in ZZ$ è equivalente a dire $x=arcsin(alpha)+hpi$, con $h in cc(P)$

Si può fare un analogo ragionamento con l'altro:
$x=pi-arcsin(alpha)+2kpi $. Qui raccolgo il $pi$:
$x=-arcsin(alpha)+pi(2k+1)$, con $k in ZZ$. Ecco, questo è equivalente a dire $x=-arcsin(alpha)+h*pi$, con $h in cc(D)$


Quindi la nostra soluzione diventa
$x=arcsin(alpha)+hpi$, con $h in cc(P)$ $vv$ $x=-arcsin(alpha)+h*pi$, con $h in cc(D)$

A questo punto ci si chiede: è possibile compattare queste due scritture in una sola?
La risposta è sì. Viene in aiuto il "famoso" trucco del $(-1)^h$
Alla fine, $AA h in ZZ$, cosa significa $(-1)^h$? significa ${(+1, h in cc(P)),(-1, h in cc(D)):}$

Quindi, ecco che compattiamo : il tutto diventa $x=(-1)^h*arcsin(alpha)+hpi$, con $h in ZZ$
questo vuol dire proprio ${(x=arcsin(alpha)+hpi, h in cc(P)),(x=-arcsin(alpha)+hpi, h in cc(D)):}$
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Messaggioda lordb » 03/05/2011, 21:47

Grazie mille!
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