Difficoltà risoluzione limite

Messaggioda Lory90 » 13/12/2009, 19:05

Qualcuno mi può suggerire come procedere per risolvere questo limite:

$\lim_{x \to \pi/2}((cosx)^2)^(1/(ln(x-(pi/2))))$

il limite è da destra quindi per x che tende a $pi/2$ da destra.
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Re: Difficoltà risoluzione limite

Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 19:19

Lory90 ha scritto:Qualcuno mi può suggerire come procedere per risolvere questo limite:

$\lim_{x \to \pi/2}((cosx)^2)^(1/(ln(x-(pi/2))))$

il limite è da destra quindi per x che tende a $pi/2$ da destra.


$z = x - pi/2$

$ z -> 0^+ $

$cos(z + pi/2) = - sin(z)$

Applicando la nota identità logaritmica...


$\lim_{x \to (\pi/2)^+}((cosx)^2)^(1/(ln(x-(pi/2)))) = \lim_{z \to 0^+}e^[ ln(sin^2(z))/ln(z) ]$

... Continua tu.
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Re: Difficoltà risoluzione limite

Messaggioda Lory90 » 13/12/2009, 20:22

Seneca ha scritto:
$\lim_{x \to (\pi/2)^+}((cosx)^2)^(1/(ln(x-(pi/2)))) = \lim_{z \to 0^+}e^[ ln(sin^2(z))/ln(z) ]$

... Continua tu.


puoi darmi un suggerimento. Non so come portarlo avanti.
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Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 20:33

Anzitutto hai capito il passaggio che ho fatto?
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Messaggioda Lory90 » 13/12/2009, 20:43

Seneca ha scritto:Anzitutto hai capito il passaggio che ho fatto?

si il passaggio è chiaro però ora non so come risolvere quel limite con z che tende a 0.
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Re: Difficoltà risoluzione limite

Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 20:59

$lim_ ( z -> 0 ) ln(sin^2(z))/ln(z)$

$lim_ ( z -> 0 ) 2* ln(sin(z))/ln(z)$


$sin(z) sim z$ per $z -> 0$

$lim_ ( z -> 0 ) 2* ln(z)/ln(z) = 2$
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Messaggioda lordmarcho » 13/12/2009, 21:01

Aiuto1
Ricorda che asintoticamente $sin(x)~~x$ quando $x->0$.....

Aiuto2
Ricorda che per le proprietà dei logaritmi $log(x^\alpha)=\alpha log(x)$.....
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Re: Difficoltà risoluzione limite

Messaggioda Lory90 » 13/12/2009, 21:06

Seneca ha scritto:$lim_ ( z -> 0 ) ln(sin^2(z))/ln(z)$

$lim_ ( z -> 0 ) 2* ln(sin(z))/ln(z)$


$sin(z) sim z$ per $z -> 0$

$lim_ ( z -> 0 ) 2* ln(z)/ln(z) = 2$


sinceramente continua a sembrarmi strano. Il limite non dovrebbe dare neanche 2. Non c'è un modo più pratico per risolverlo?
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Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 21:08

Io ho preso in considerazione solo l'esponente. Infatti saprai che:

$lim_( x -> x_0 ) e^( f ( x ) ) = e^[ lim_( x -> x_0 ) ( f ( x ) ) ]$

Il limite è $e^2$.
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Messaggioda lordmarcho » 13/12/2009, 21:09

Beh alla fine hai sfruttato un confronto asintotico e una proprietà basilare dei logaritmi... poteva andar peggio! ;)
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