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Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado

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Dimostrazione irrazionalità radice di 3

12/04/2008, 18:40

Ciao a tutti. Allora il mio problema è questo: devo dimostrare per assurdo che $√3$ sia un numero irrazionale. La dimostrazione a scuola l'abbiamo già fatta con $√2$ in questo modo:
supponiamo, sempre per assurdo, che $√2=p/q$
otteniamo $2q^2=p^2$
da quì deduciamo che $p$ è un numero pari allora lo scomponiamo in $2k$
l'equazione allora diventa $q^2=2k^2$
allora anche $q$ è pari
così, vedendo che $√2$ sarebbe il risultato della divisione tra due numeri pari, abbiamo dimostrato che $√2$ è irrazionale.
ora io ho provato con $√3$ ma una volta fatte le dovute semplificazioni, non riesco ad andare avanti poichè non posso ammettere che $p$ e $q$ sono pari, dato che il loro coeff è $3$. Come posso dimostrarlo ed andare avanti?
grazie in anticipo...

12/04/2008, 19:01

Allo stesso modo.
Ipotizziamo che esistano a e b tali che $a/b\ = sqrt(3)$, allora elevando al quadrato entrambi i membri si ha:
$a^2/b^2\ =\ 3$
Portando il termine $b^2$ al secondo membro si ottiene: $a^2\ =\ 3b^2$; ora il 3 o c'è o non c'è in entrambi i membri; se c'è, allora il 3 è presente in $a^2$ e in $b^2$ un numero pari di volte mentre al secondo membro per effetto del prodotto per 3 essi diventano in numero dispari. Se non c'è, a maggior ragione l'uguaglianza è assurda perché il 3 comparirebbe un numero dispari di volte al secondo membro.

13/04/2008, 10:05

In effetti la dimostrazione che ha dato Ivan è quella più corretta, poiché è applicabile ad ogni radicale..

13/04/2008, 18:31

scusami ivan, ma non ho capito proprio bene, per favore potresti essere più preciso?

13/04/2008, 20:29

Si tratta di scomporre un numero in fattori primi; per essere vera l'uguaglianza $a^2/b^2=3$ (ma in generale un $n$ qualunque non quadrato perfetto), $a^2$ DEVE essere, almeno, multiplo di 3; ora poichè $a$ è al quadrato il fattore 3 compare SEMPRE un numero pari di volte; per farti un esempio, supponi che sia $a\ =\ 6\ =\ 2*3$, il quadrato è 36, cioè: $a^2\ =\ 2^2*3^2$. Come vedi, il 3 compare DUE volte. Ora il divisore di 36 che restituisce 3 è 12 (il numero $b^2$) il che è assurdo perché $12 = 3*2^2$ e il 3 compare un numero dispari di volte.

14/04/2008, 19:24

ok, con l'esempio mi è più chiaro, grazie mille davvero!
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