Disequazione trigonometrica

Messaggioda thedarkhero » 02/08/2012, 15:57

$sinx(tanx-cotanx)>=0$

Condizioni di esistenza:
$x!=kpi/2,k\inNN$

$sinx(sinx/cosx-cosx/sinx)>=0$
$sinx(sin^2x-cos^2x)/(sinxcosx)>=0$
$(sin^2x-1+sin^2x)/cosx>=0$
$(2sin^2x-1)/cosx>=0$

Numeratore:
$(2sin^2x-1)>=0$
$sin^2x>=1/2$
$sinx<=-1/sqrt(2) uu sinx>=1/sqrt(2)$
$pi/4<=x<pi/2 uu pi/2<x<=3/4pi uu 5/4pi<=x<3/2pi uu 3/2pi<x<7/4pi$

Denominatore:
$cosx>0$
$0<x<pi/2 uu pi/2<x<pi$

Con la regola dei segni ottengo:
$pi/4<=x<pi/2 uu pi/2<x<=3/4pi uu pi<x<=5/4pi uu 7/4pi<=x<2pi$

Il libro indica invece come soluzione:
$pi/4<=x<pi/2 uu 3/4pi<=x<=pi uu pi<x<=5/4pi uu -pi/2<x<=-pi/4$
Dove sbaglio? :shock:
thedarkhero
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Re: Disequazione trigonometrica

Messaggioda chiaraotta » 02/08/2012, 16:28

thedarkhero ha scritto:....
Dove sbaglio? :shock:


Condizioni di esistenza:
$x!=kpi/2,k\inZZ$

Denominatore:
$cosx>0$
$-pi/2+2kpi<x<pi/2 +2kpi$
chiaraotta
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Re: Disequazione trigonometrica

Messaggioda thedarkhero » 02/08/2012, 17:27

Giusto! Ho risolto un coseno come se fosse un seno :(

Un altro problema...

$cos(3x)-cos(2x)<=0$
$cos(2x+x)-2cos^2x+1<=0$
$cos(2x)cosx-sin(2x)sinx-2cos^2x+1<=0$
$2cos^2x-cos(2x)cosx+sin(2x)sinx-1>=0$
$2cos(2x)-(2cos^2x-1)cosx+(2sinxcosx)sinx-1>=0$
$2cos^2x-2cos^3x+cosx+2sin^2xcosx-1>=0$
$2cos^3x-2cos^2x-2(1-cos^2x)cosx-cosx+1<=0$
$2cos^3x-2cos^2x-2cosx+2cos^3x-cosx+1<=0$
$4cos^3x-2cos^2x-3cosx+1<=0$

Usando Ruffini lo riscrivo come:

$(cosx-1)(4cos^2x+2cosx-1)<=0$

Cerco le radici della seconda parentesi:

$(cosx)_(1,2)=-2+-sqrt(20)/8$

Ma questo non è un valore notevole per il seno...come posso fare?
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Re: Disequazione trigonometrica

Messaggioda chiaraotta » 02/08/2012, 17:48

Se usi la formula di prostaferesi
$cos alpha - cos beta = -2sin((alpha + beta)/2)*sin((alpha - beta)/2)$
ottieni che
$cos(3x)-cos(2x)=-2sin(5/2x)*sin(x/2)$
Per cui la disequazione
$cos(3x)-cos(2x)<=0$
può essere riscritta come
$-2sin(5/2x)*sin(x/2)<=0->sin(5/2x)*sin(x/2)>=0$.
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