Disuguaglianza trigonometrica

Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 12:05

Come si potrebbe dimostrare una cosa del genere?

$\sin x<=x<= tan x$ per $0<x<\pi/2$

Senza far uso delle derivate...c'è una dimostrazione geometrica?

Intuitivamente si capisce che sin x < x perchè è indubbio che l'arco di cerchio (che raffigura l'angolo in radianti) è strettamente maggiore della proiezione del punto sull'asse Y. Ma la seconda parte della disuguaglianza come si dimostra?
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Messaggioda prime_number » 18/05/2011, 14:11

Secondo me si dimostra graficamente nello stesso modo del seno, basta disegnare la tangente.

Paola
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Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 14:18

E come faccio a disegnarla nel contesto del cerchio goniometrico? Ho visto in internet che è un segmento che congiunge tangenzialmente il punto P e l'asse delle ascisse. Ma come faccio a dimostrare che la lunghezza di quella linea è sin/cos?
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Messaggioda prime_number » 18/05/2011, 15:18

Disegni la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0).
Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)

Paola
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Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 16:02

Grazie...la dimostrazione è chiarissima...solo una domanda...mettiamo che il raggio della circonferenza non sia 1, ma genericamente r. Facendo i conti (usando il teorema della similitudine dei triangoli) ho trovato che la tangente non è esattamente uguale a quel segmento, ma al rapporto fra quel segmento e il raggio...come è possibile? Ripeto brevemente la dimostrazione

Circonferenza di centro O e raggio r. P è l'intersezione tra la circonferenza e il secondo lato dell'angolo. Inoltre T è l'intersezione tra la tangente alla circonferenza per il punto P. X e Y sono le proiezioni di P sull'asse x e y rispettivamente.
Dobbiamo dimostrare che la tangente è uguale al segmento PT.

DIMOSTRAZIONE. I triangoli POX e OPT sono simili, perchè hanno i tre angoli ordinatamente congruenti, come si dimostra facilmente. Quindi abbiamo $(PX)/(PT)=r/(OT) =(OX)/r$. In questo modo ho che la tangente $(PX)/(OX)=(PT)/(OP) $dipenderebbe quindi dal raggio di quel cerchio! Com'è possibile?
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Messaggioda prime_number » 18/05/2011, 16:37

La tangente come funzione trigonometrica viene definita sulla circonferenza unitaria (così come seno e coseno). Che senso ha tirare in ballo la circonferenza di raggio r?

Paola
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Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 16:40

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....:(
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Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 16:41

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....:(
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Messaggioda prime_number » 18/05/2011, 16:41

Sì ma la FUNZIONE TANGENTE e UNA tangente ad una circonferenza sono concetti diversi.

Paola
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Messaggioda newton_1372 » 18/05/2011, 16:45

quindi quella relazione vale SOLO per R=1?
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