Elettrone accelerato da una ddp

[Tipper]

Un elettrone inizialmente in quiete viene accelerato in un tubo a raggi X da una differenza di potenziale di $V = 2 \cdot 10^5 V$. Determinare la velocità finale dell'elettrone e la quantità di moto.

Secondo la fisica classica, per determinare la velocità finale basterebbe risolvere $e V = \frac{1}{2} m v^2$. Tenendo invece conto della relatività, va bene l'equazione impostata in questo modo?

$e V = (\gamma - 1) m_0 c^2$

[Cantaro86]

anche a me interessa questo problema...
se qualcuno può rispondere lo ringrazio

[nirvana]

Un elettrone inizialmente in quiete viene accelerato in un tubo a raggi X da una differenza di potenziale di $V = 2 \cdot 10^5 V$. Determinare la velocità finale dell'elettrone e la quantità di moto.

Secondo la fisica classica, per determinare la velocità finale basterebbe risolvere $e V = \frac{1}{2} m v^2$. Tenendo invece conto della relatività, va bene l'equazione impostata in questo modo?

$e V = (\gamma - 1) m_0 c^2$

Sì, è così l'energia cinetica relativistica. Questo è l'esperimento di William Bertozzi del 1963, che è l'esperimento sulla velocità limite.
Interessante è vedere la curva (con $(v/c)^2$ come ordinata e $(E_c)/(mc^2)$ come ascissa) che si "stabilizza" verso l'1.0 (avendo scelto unità di misura in modo tale che le velocità siano frazioni di quella della luce) all'aumentare dell'energia.

Nel limite non relativistico si avrebbe una retta, e quindi $c>1$.

Aggiungo: occhio con il termine massa a riposo $m_0$! Dal momento che la massa è un'invariante in relatività, anche la massa a riposo è un termine che cade...
Ciao.

[Eredir]

Il risultato mi sembra corretto, infatti sviluppando si ottiene $eV = 1/2mv^2+O(v^4)$.

[Tipper]

Ok, grazie. Giusto per vedere se ho capito, provo a proporne un altro. Calcolare l'energia richiesta per portare un elettrone da fermo ad una velocità pari a $0.9c$.

Dovrebbe essere lo stesso, cioè $E = (\gamma - 1) mc^2$ (senza contare l'energia a riposto), giusto?

[Eredir]

Il risultato è corretto. Non capisco cosa intendi con "senza contare l'energia a riposo", dal momento che scrivendo $E=\gammamc^2-mc^2$ ne hai tenuto esplicitamente conto.

[Tipper]

L'energia totale è data da energia cinetica più energia a riposo, volevo dire che per risolvere l'esercizio si doveva determinare solo dell'energia cinetica ($E = (\gamma - 1) mc^2$ per l'appunto) e non energia cin. + energia a riposo. Detto male, ma il senso è questo.

Grazie mille Eredir.

[Cantaro86]

Grazie a tutti...queste spiegazioni servivano anche a me

[Eredir]

L'energia totale è data da energia cinetica più energia a riposo, volevo dire che per risolvere l'esercizio si doveva determinare solo dell'energia cinetica ($E = (\gamma - 1) mc^2$ per l'appunto) e non energia cin. + energia a riposo. Detto male, ma il senso è questo.

Grazie mille Eredir.

Quello che volevo dire è che in relatività si definisce l'energia come $E=m\gammac^2$, dove $m$ è la massa a riposo, poichè questa sviluppata al secondo ordine fornisce $E=mc^2+1/2mv^2+O(v^4)$ e ci riporta nel caso classico, a meno del termine costante. L'equazione che hai scritto tiene conto di tutti i termini presenti nell'energia, non solo del termine cinetico classico e di quello eventuale dell'energia a riposo.

[Tipper]

Ah ok, penso di aver capito.

Faccio un'ultima domanda (spero ) su questo argomento... Se l'elettrone doveva essere portato alla velocità di $0.9c$ partendo non da fermo ma da una velocità $v$ (minore di $0.9c$), l'energia richiesta sarebbe stata questa?

$(\gamma_1 - 1) mc^2 - (\gamma_2 - 1) mc^2$

dove $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.9)^2}}$ e $\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}$