equazione goniometrica

Messaggioda rikriz » 06/04/2011, 20:40

qualcuno mi risolve la seguente equazione goniometrica???

$sinx - cosx + (sqrt(3) -1)cos(2x)=0$

grazie...

non riesco a ricondurla a nessuna equazione lineare oppure omogenea, neanche biquadratica... uffff

le soluzioni però... che la verificano sono

$x=pi/4 +kpi$ , $x=pi/3 +2kpi$ , $x=pi/6 +2kpi$
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Messaggioda Delirium » 06/04/2011, 21:06

Prova così:
$sinx-cosx+sqrt(3)cos2x-cos2x=sinx-cosx+sqrt(3)(cos^2 x - sin^2 x)-(cos^2 x -sin^2 x)=senx-cosx+sin^2 x(1-sqrt(3))-cos^2 x(1-sqrt(3))$; da qui un paio di raccoglimenti parziali e i giochi dovrebbero essere fatti.

Ti ricordo comunque, poiché sei nuovo, che il regolamento prevede che l'utente richiedente fornisca un suo tentativo di risoluzione dell'esercizio. "Non so farlo" non significa nulla.
Delirium
 

Messaggioda rikriz » 06/04/2011, 21:08

Delirium ha scritto:Prova così:
$sinx-cosx+sqrt(3)cos2x-cos2x=sinx-cosx+sqrt(3)(cos^2 x - sin^2 x)-(cos^2 x -sin^2 x)=senx-cosx+sin^2 x(1-sqrt(3))-cos^2 x(1-sqrt(3))$; da qui un paio di raccoglimenti parziali e i giochi dovrebbero essere fatti.

Ti ricordo comunque, poiché sei nuovo, che il regolamento prevede che l'utente richiedente fornisca un suo tentativo di risoluzione dell'esercizio. "Non so farlo" non significa nulla.


va bene... non lo sapevo... altrimenti avrei messo i miei tentativi, grazie infinite :D
Ultima modifica di rikriz il 06/04/2011, 21:18, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Delirium » 06/04/2011, 21:13

rikriz ha scritto:va bene... non lo sapevo... altrimenti avrei messo i miei tentativi


Nessun problema, ora lo sai.

Buona permanenza nel forum.
Delirium
 

Messaggioda rikriz » 07/04/2011, 10:52

rikriz ha scritto:
Delirium ha scritto:Prova così:
$sinx-cosx+sqrt(3)cos2x-cos2x=sinx-cosx+sqrt(3)(cos^2 x - sin^2 x)-(cos^2 x -sin^2 x)=senx-cosx+sin^2 x(1-sqrt(3))-cos^2 x(1-sqrt(3))$; da qui un paio di raccoglimenti parziali e i giochi dovrebbero essere fatti.

Ti ricordo comunque, poiché sei nuovo, che il regolamento prevede che l'utente richiedente fornisca un suo tentativo di risoluzione dell'esercizio. "Non so farlo" non significa nulla.


va bene... non lo sapevo... altrimenti avrei messo i miei tentativi, grazie infinite :D


purtroppo in questo modo non funziona... ho cmq trovato la soluzione, tra poco al posto e poi chiudo il post :-D
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Messaggioda Delirium » 07/04/2011, 13:56

Strano, io ero riuscito a risolverla anche così... Probabilmente non hai provato gli stessi raccoglimenti parziali a cui avevo pensato io.
Comunque meglio così: sei arrivato da solo alla soluzione.
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Messaggioda rikriz » 07/04/2011, 16:56

$sinx -cosx +(sqrt(3)-1)cos2x=0$

$(sqrt(3)-1)cos2x=cosx -sinx$

$(sqrt(3)-1)(cos^2x - sin^2x)=(cosx -sinx)$

$(sqrt(3)-1)(cosx - sinx)(cosx + sinx)=(cosx -sinx)$

ora divido ambo i membri per $(cosx - sinx)$

ma $(cosx - sinx)=0$ è soddisfatta per $pi/4 +kpi$ e le stesse soluzioni mi verificano quella di partenza, perciò sono anch'esse soluzioni.

Mi resta:

$(sqrt(3)-1)(cosx + sinx)=1 sinx=1/2$

$cosx + sinx=1/(sqrt(3)-1)$

razionalizzando il secondo membro:


$cosx + sinx=sqrt(3)/2+1/2$

Ciò è vero quando

$cosx=sqrt(3)/2$
$sinx=1/2$

e

$sinx=sqrt(3)/2$
$cosx=1/2$


cioè per $pi/3 +2kpi$ e $pi/6 +2kpi$
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Messaggioda Delirium » 07/04/2011, 18:38

L'ultima parte della soluzione mi piace poco. La tua affermazione suona pressocché in questa maniera: se $a+b=1+2$ allora $a=1$ e $b=2$ (che potrebbe essere vero; ma potrebbe altresì essere che $a=1/2$ e $b=5/2$. Nel tuo caso pare però difficile l'esistenza di un'altra coppia di numeri $c$ e $d$ tali che $c+d=(sqrt(3)+1)/2$ e $c^2 + d^2 = 1$, quindi propenderei verso l'affermare che "ti è andata bene").
Piuttosto formalizzerei correttamente risolvendo l'equazione lineare $sinx + cosx=(sqrt(3)+1)/2$ attraverso il metodo geometrico/grafico.
Delirium
 

Messaggioda rikriz » 07/04/2011, 18:54

Delirium ha scritto:L'ultima parte della soluzione mi piace poco. La tua affermazione suona pressocché in questa maniera: se $a+b=1+2$ allora $a=1$ e $b=2$ (che potrebbe essere vero; ma potrebbe altresì essere che $a=1/2$ e $b=5/2$. Nel tuo caso pare però difficile l'esistenza di un'altra coppia di numeri $c$ e $d$ tali che $c+d=(sqrt(3)+1)/2$ e $c^2 + d^2 = 1$, quindi propenderei verso l'affermare che "ti è andata bene").
Piuttosto formalizzerei correttamente risolvendo l'equazione lineare $sinx + cosx=(sqrt(3)+1)/2$ attraverso il metodo geometrico/grafico.


in realtà la soluzione analitica rigorosa, che da cmq i risultati, e quello di usare sen e cos in funzione razionale di $tg(x/2)$... e quindi viene... :-D anche se l'argomento dell'arcotangente è un radicale micidiale... ma viene :lol:
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Messaggioda Delirium » 07/04/2011, 19:00

Si, con le formule parametriche. L'alternativa, come ripeto, è porre $sinx=Y$, $cosx=X$, risolvere il sistema $\{(X+Y=(sqrt(3)+1)/2),(X^2 + Y^2 =1):}$ e trarre le relative conclusioni.
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