Equazione goniometrica

Messaggioda lionell » 10/07/2012, 11:40

Ciao ragazzi
Sono in crisi con la seguente equazione

\( \displaystyle \frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + cos 3x}=\tan{\frac{x}{2}}+\tan{\frac{3}{2}x} \)

Io ho provato utilizzando le formule di prostaferesi al primo membro ma non me ne esco lo stesso!! Sarà perché sono arrugginito in materia :oops: ...
Sarei infinitamente grato a chi mi aiutasse
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda prime_number » 10/07/2012, 11:42

Così su due piedi direi formule di addizione e poi parametriche. Hai provato? Vengono i conti di Dio?

Paola
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda lionell » 10/07/2012, 11:44

Innanzitutto complimenti per la rapidità di risposta :)
Cmq, tu dici che dovrei usare le formule di addizione sia al primo che al secondo membro?
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda prime_number » 10/07/2012, 11:47

Ripeto, non ho tentato direttamente perché sono al lavoro... ma io userei l'addizione sul primo membro sino ad avere solo termini con $sinx, cosx$. Al secondo $tan(3/2 x)= tan(x/2 + x)$ e via d'addizione. E poi parametriche così ti ritrovi solo roba con $tan(x/2)$.

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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda lionell » 10/07/2012, 11:49

Ok... vedo un po' come viene e ti faccio sapere se risolvo. Grazie :)
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda @melia » 10/07/2012, 11:51

Prostaferesi, prostaferesi e ancora prostaferesi.
Ecco il primo passaggio:
$(2 sin 2x cosx)/(2 cos 2x cosx)= (sin 2x)/(cos (x/2) cos (3/2 x))$
Lo so, pochi ricordano che esistono le formule di prostaferesi anche per la tangente.
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda lionell » 10/07/2012, 12:01

Io avevo utilizzato prostaferesi al primo membro, che viene
\( \displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \)

Non vedo però come possa essere utile usare prostaferesi al secondo membro!
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda @melia » 10/07/2012, 12:02

Per esempio per raccogliere a fattore comune $sen 2x$
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda lionell » 10/07/2012, 12:13

Quel sen2x verrebbe semplicemente eliso con quello del primo membro, ma resterebbe un macello di calcoli lo stesso!
Io ora sto provando usando prostaferesi al primo membro e addizione al secondo. Poi sono passato alle formule parametriche in t. Tuttavia è sempre un macello. Sarà che questa equazione è solo troppi calcoli in qualsiasi modo ti giri!
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Re: Equazione goniometrica

Messaggioda chiaraotta » 10/07/2012, 12:25

Mi sembra che così funzionerebbe ....

Usando le formule di prostaferesi si ottiene che
$sin(x)+sin(3x)=2sin(2x)*cos(x)$,
$cos(x)+cos(3x)=2cos(2x)*cos(x)$
$tan(x/2)+tan(3/2x)=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$.

Per cui
$(sin(x)+sin(3x))/(cos(x)+cos(3x))=tan(x/2)+tan(3/2x)$
può essere scritta come
$(2sin(2x)*cos(x))/(2cos(2x)*cos(x))=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$
$(sin(2x))/(cos(2x))=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$, con $cos(x)!=0$,
$sin(2x)*(1/cos(2x)-1/(cos(x/2)cos(3/2x)))=0$

Quindi, o
$sin(2x)=0->2x=kpi->x=kpi/2$,
(che annulla il denominatore e quindi non è accettabile), oppure
$1/cos(2x)-1/(cos(x/2)cos(3/2x))=0$.

La seconda equazione può essere scritta come
$cos(x/2)cos(3/2x)=cos(2x)$.
Applicando le formule di Werner si ottiene
$1/2(cos(2x)+cos(x))-cos(2x)=0$
$-1/2cos(2x)+1/2cos(x)=0$
$cos(2x)=cos(x)->2x=+-x+2kpi->x=2kpi vv x=k 2/3pi$.
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