Equazione Trigonometrica

Messaggioda etec83 » 22/12/2009, 17:05

$sen(2x) - sen(x) - sen(x/2) = 0$ nell'intervallo $[0;pi]$

Qualcuno mi può almeno indicare che formule adoperare??
O come partire?
Più che altro il problema è quel $sen(x/2)$ che non so come trattarlo.
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Messaggioda frodo4 » 22/12/2009, 17:13

Prova a utilizzare le formule di duplicazione e quelle di bisezione.

Ciao
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Messaggioda @melia » 22/12/2009, 20:29

Se conosci le formule di prostaferesi applicale ai primi due addendi e l'equazione si risolve in un lampo.
Se non conosci la prostaferesi, allora fai prima un cambio di variabile $x/2=t$ e applica due volte la duplicazione. Non usare la bisezione che ti porta a due equazioni irrazionali.
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Messaggioda etec83 » 23/12/2009, 18:31

E infatti con le formule di bisezione mi si complicava tutto.

Comunque vediamo se ho capito bene, dovrebbe essere:

$sen(2x) - sen(x) - sen(x/2) = 0$

applicando la formula di prostaferesi per i primi 2 ottengo

$2cos((2x+x)/2)sen((2x-x)/2) - sen(x/2) = 0$

$2cos(3/2x)*sen(x/2) - sen(x/2) = 0$

$sen(x/2) * [2cos(3/2x) - 1] = 0$

Primo termine
$sen(x/2) = 0$

il seno è nullo in $0$ e $pi$.

quindi, poichè l'intervallo è $[0;pi]$, l'unica soluzione per il primo termine è:

$x = 0$


Poi, secondo termine:

$[2cos(3/2x) - 1] = 0$

$cos(3/2x) = 1/2$

il coseno vale $1/2$ in $pi/3$ e $(5pi)/3$

quindi

$x = (2pi)/9$
e
$x = (10pi)/9$ ---> quest'ultimo è fuori dall'intervallo quindi prendo solo la prima soluzione.

Unendo le due soluzioni ho

$x = 0$ $o$ $x = (2pi)/9$
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Messaggioda salfor76 » 23/12/2009, 19:57

a me sembra corretta la tua risoluzione.
buona serata!
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