Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda Bad90 » 06/12/2012, 14:26

Esercizio 1

$ 2sen^2x -1 = 0 $

Come si risolvono :?:
Ho pensato di fare in questo modo:

$ sen^2x = 1/2 $

$ senx = +-sqrt(2)/2 $

E' giusto imporre le condizioni di esistenza in questo modo :?:

$ C.E. : AA a in R | -1<a<1 $

Quindi le soluzioni sono $ senx =-sqrt(2)/2 vv senx =sqrt(2)/2 $
Ma poi non sono sicuro su come continuare :? :? :?
Ciò che mi viene di dire intuitivamente è che se il valore che mi interessa deve essere incluso tra $ 45^o $ e $ -45^o $ posso solo pensare che la soluzione è:

$ x=45^o +k90^o $

Dico questo perchè devo avere un valore tale che si ripete ogni $ 90^o $ ! Ma poi non bisogna considerare anche questo:

$ x=180^o - alpha+k360^o $

:?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?:

Ancora non mi sono tanto chiare queste equazioni :!: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda macina18 » 06/12/2012, 16:19

Hai ridotto la tua equazione a due equazioni di tipo elementare che vanno risolte separatamente :
1)$senx= sqrt2/2$ e 2)$senx=-sqrt2/2$ che vanno risolte separatamente.
La prima ha per soluzione $x=45°+k360°$ e $x=(180°-45°) + k360°=135°+k360°$
la seconda invece $x=(180°+45°)+k360°= 225°+k360°$ e $x=(360°-45°)+k360°=315°+k360°$
per quanto riguarda la condizione di esistenza che poni , non ha alcun significato perchè è la funzione sen che assume valori compresi tra -1 e 1
Ultima modifica di macina18 il 06/12/2012, 16:23, modificato 1 volta in totale.
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda macina18 » 06/12/2012, 16:21

Ovviamente per individuare le soluzioni devi tenere conto di ciò che hai studiato sugli archi associati
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda Bad90 » 06/12/2012, 16:31

macina18 ha scritto:Ovviamente per individuare le soluzioni devi tenere conto di ciò che hai studiato sugli archi associati

Ok, effettivamente le soluzioni sono infinite e si ripetono ogni $ 90^o $ , solo che il testo mi dice che la soluzione deve essere $ x=45^o +k90^o$
Penso sia lo stesso dei risultati che hai scritto tu! Giusto?
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda macina18 » 06/12/2012, 16:54

Certo .
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda giammaria » 06/12/2012, 17:52

Che risate mi sto facendo! La soluzione del tuo esercizio è esattamente quella che avevo messo al punto C dell'esercizio di qualche giorno fa. Hai già avuto una risposta completa da macina18 ma i latini dicevano "repetita iuvant" (=le cose ripetute aiutano) e quindi vi aggiungo la mia.

La discussione si fa solo nei seguenti casi:
- c'è una frazione ed allora il denominatore deve essere diverso da zero;
- c'è una tangente o una cotangente ed allora il loro argomento non deve essere uno di quelli per cui questa funzione non esiste. Ad esempio, se nel testo ci fosse $tg(x+pi/3)$ dovresti imporre $x+pi/3!=pi/2+k pi->x!=pi/6+k pi$
I punti esclusi dal CE vanno riportati sul cerchio goniometrico come pallini vuoti. Alla fine dell'esercizio, riporti sullo stesso cerchio le soluzioni; se una di esse cade su un pallino vuoto, devi scartarla.

Ora risolvi l'equazione ed il primo passo è ottenere una o più equazioni goniometriche elementari. I modi per compierlo sono:
- scrivere il tutto come un prodotto uguagliato a zero e poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Non capita molto spesso di poterlo fare, ma questo modo non va dimenticato;
- cercare di avere ovunque la stessa funzione con lo stesso argomento e per questo ti serviranno le due formule fondamentali; evita con cura di introdurre radici perché complicano molto le cose. Consideri poi come incognita quella funzione (le prime volte può forse esserti utile fare una sostituzione, chiamandola $y$) e ne ricavi il valore.
Qualche tipo di equazione (lineare, omogenea) richiede qualche particolare accorgimento ma il tuo libro ne parlerà di sicuro; per ora non pensarci.

Il primo passo termina con una funzione eguagliata ad uno o più valori, cioè con una o più equazioni elementari e le risolvi una per una, riportando le soluzioni sul cerchio; il caso più frequente è che ad ogni equazione elementare corrispondano due punti.
Ora l'esercizio si può considerare finito ma si preferisce osservare i punti trovati e chiedersi se la soluzione può essere scritta in modo più elegante; se la risposta è sì, lo si fa. E' quello che succede nel tuo esercizio: la soluzione è data da 4 punti sul cerchio e l'esercizio si può considerare finito scrivendo quei 4 valori seguiti dal solito $+k*360°$; notando però che con rotazioni di 90° si passa dalla prima soluzione alle successive, si preferisce riassumere quelle 4 formule nell'unica data dal libro.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda Bad90 » 06/12/2012, 21:30

giammaria ha scritto:Ad esempio, se nel testo ci fosse $tg(x+pi/3)$ dovresti imporre $x+pi/3!=pi/2+k pi->x!=pi/6+k pi$

Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza :?:

giammaria ha scritto:Che risate mi sto facendo!

:cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

In questi giorni ti giuro che ne verrò a capo :evil:
Domani mattina dedicherò tutta la mattinata allo studio di questi argomenti! :smt023 :smt023 :smt023 :smt023 :smt023
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda giammaria » 06/12/2012, 21:59

Bad90 ha scritto: Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza :?:

Mentre seno e coseno esistono qualunque sia l'angolo, per tangente e cotangente ci sono dei valori in cui non le si può calcolare; per esempio, non esiste $tg 90°$. Di conseguenza, quando in un esercizio compare una delle due ultime funzioni, dobbiamo escludere che il loro argomento (che chiamerò $f(x)$) abbia uno di questi valori.
Se c'è $tg f(x)$ allora $f(x)!=90°+k*180°$
Se c'è $ctg f(x)$ allora $f(x)!=0°+k*180°$

Se ti è difficile ricordarlo, pensa che la tangente può essere considerata come una frazione (seno fratto coseno), quindi il denominatore deve essere diverso da zero e vanno esclusi i punti in cui si annulla il coseno. Analogamente, per la cotangente escludi i punti in cui si annulla il seno.
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda Bad90 » 06/12/2012, 22:01

giammaria ha scritto:
Bad90 ha scritto: Ma sulla base di cosa hai impostato quelle condizioni di esistenza :?:

Mentre seno e coseno esistono qualunque sia l'angolo, per tangente e cotangente ci sono dei valori in cui non le si può calcolare; per esempio, non esiste $tg 90°$. Di conseguenza, quando in un esercizio compare una delle due ultime funzioni, dobbiamo escludere che il loro argomento (che chiamerò $f(x)$) abbia uno di questi valori.
Se c'è $tg f(x)$ allora $f(x)!=90°+k*180°$
Se c'è $ctg f(x)$ allora $f(x)!=0°+k*180°$

Perfetto! Quindi nelle condizioni di esistenza bisogna solo evidenziare quando una funzione si annulla :!: :?:
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Re: Equazioni algebriche in senx, cosx, tgx.

Messaggioda Bad90 » 06/12/2012, 22:05

Esercizio 2

$ cos^2x -cosx = 0 $

$ cosx(cosx -1) = 0 $

$ cosx = 0 $
$ cosx = 1 $

Le soluzioni sono:

$ x= +-90^o +k360^o $

$ x= k360^o $

E quindi per la funzione coseno non sussiste il problema delle $ C.E. $ , giusto :?:

Però nel caso della seguente soluzione $ x= +-90^o +k360^o $ si può anche dire che $ x= +-90^o +k180^o $ perchè la funzione si ripete ogni $ 180^o $ , giusto :?:

Adesso mi chiedo, qual'è il modo più elegante per dire la soluzione :?:
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