Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Bad90 » 29/11/2012, 17:52

Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi :smt023

In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:

Caso 1
$ cos x = a $

Caso 2
$ sen x = b $

Caso 3
$ tg x = c $
“Il fine principale della filosofia naturale è di formulare le leggi basandosi sui fenomeni, senza formulare ipotesi, risalendo dall'effetto alle cause sino a quando giungiamo alla causa prima che certamente non è meccanica.”

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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Bad90 » 29/11/2012, 18:24

Esercizio 1

Non sto capendo questo esercizio....

$ sen x = 0 $

Ma se ho questo caso, mi viene in mente di dire che il seno di un angolo $ x $ sarà zero solo quando l'angolo è $ alpha = 0^o $ oppure $ alpha = 180^o $, mi viene di risolverlo in questo modo:

$ sen x = 0 $ e allora:

$ alpha = 0 $
$ x = 0^o + k360^o $ e $ x = 180^o - 0^o + k360^o $ e allora concludere che deve essere:

$ x = k360^o $
$ x = 180^o + k360^o $

:? :? :? :?
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Zero87 » 29/11/2012, 18:45

Bad90 ha scritto: $ alpha = 0 $
$ x = 0^o + k360^o $ e $ x = 180^o - 0^o + k360^o $ e allora concludere che deve essere:

$ x = k360^o $
$ x = 180^o + k360^o $

:? :? :? :?


Quanto hai scritto è giusto, anche se non è il modo più "elegante" di scriverlo (infatti non lo trovi in giro :) ).

La sistemazione "elegante" la trovi spiegata meglio di quanto posso fare io in questo, da fine pag. 19 in poi.
Te l'avevo segnalato nell'altro thread, vedi se ti ritrovi :smt023 .

PS. Ci sono alcuni esempi svolti (devo ancora finire di "setacciare" tutta la "secondaria di secondo grado" ma sto a 1/3) qui che potrebbero darti una mano in casi simili. In alcuni di questi le discussioni sono davvero approfondite e utili.
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda gabriello47 » 29/11/2012, 18:47

e se facessi $x=k180°$ e basta?
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Bad90 » 29/11/2012, 18:50

gabriello47 ha scritto:e se facessi $x=k180°$ e basta?


E perchè :?:
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Zero87 » 29/11/2012, 18:54

Bad90 ha scritto:
gabriello47 ha scritto:e se facessi $x=k180°$ e basta?


E perchè :?:


Proprio per questo ti ho detto di vedere a fine pag. 19 della dispensa di matematicamente che ho rilinkato ma che ti avevo segnalato nel thread delle identità goniometriche.
Io sono consapevole di avere un italiano "non chiarissimo", quindi rimando a qualcuno che l'ha spiegato meglio di me "quel motivo".
:roll:

EDIT.

A parole mie potrei dirti questo.
Siccome $sin(\alpha)=sin(180^o -\alpha)$ (archi associati), allora se $\alpha=0^o$ è soluzione, lo è anche $\alpha=180^o$.
Ma poi sono soluzioni anche
$k\cdot 360^o + 180^o$ e
$k\cdot 360^o$,
e so che lo sai.

Se poni $360^o =180^o \cdot 2$ ottieni che le soluzioni sono
$k\cdot 360^o + 180^o= 2k\cdot 180^o + 180^o$ lo chiamo "primo insieme di soluzione"
$k\cdot 360^o= 2k\cdot 180^o$ lo chiamo "secondo insieme di soluzione".

Puoi notare che il primo insieme di soluzione è formato da multipli dispari di $180^o$ mentre il secondo da multipli pari di $180^o$. Quindi le soluzioni totali sono "tutti" i multipli (pari e dispari) di $180^o$.

Quello che ho detto a parole mie è una spiegazione che regge, solo che è un po' grezza. Per questo per una spiegazione più "italiana" e "esauriente" ti avevo segnalato le dispense (presenti su matematicamente.it) che ti avevo detto anche l'altra volta. In esse c'è molto più italiano ( :roll: ) oltre che c'è il caso generale.
Ultima modifica di Zero87 il 29/11/2012, 19:14, modificato 1 volta in totale.
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Bad90 » 29/11/2012, 18:57

Ok, sto leggendo :smt023
Ma si, si potrebbe scrivere cosi':

$ x = 2*k180^o $
$ x = 180^o + 2k180^o $

Intendi questo?
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Zero87 » 29/11/2012, 19:15

Bad90 ha scritto:Ok, sto leggendo :smt023
Ma si, si potrebbe scrivere cosi':

$ x = 2*k1800^o $
$ x = 180^o + 2k180^o $

Intendi questo?


In questo caso sì [hai messo uno zero in più, sembra $1800$ nel primo].

Ho detto una cosa simile modificando il mio post precedente, però la mia spiegazione vale nel caso di $\alpha=0$. Per il caso generale ti ho rimandato a quella lettura che è molto più chiara di me...
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Bad90 » 29/11/2012, 19:23

Il testo mi dice che deve essere cosi':

$ x= k180^o $

Come e' possibile?
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Re: Equazioni goniometriche elementari

Messaggioda Zero87 » 29/11/2012, 19:29

Bad90 ha scritto:Il testo mi dice che deve essere cosi':

$ x= k180^o $

Come e' possibile?


Io l'ho spiegato a parole mie qualche messaggio fa (sotto all'EDIT).

$2k\cdot 180^o + 180^o= (2k+1)\cdot 180^o$ che unito al $2k\cdot 180^o$ mi dà tutti i multipli interi di $180^o$.
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