Equazioni goniometriche

Messaggioda shintek20 » 17/03/2011, 13:14

Salve,non riesco a risolvere la seguente equazione goniometrica:

$ctg^2x-8senx+1=0$

$(cos^2x)/(sen^2x) -8senx+1=0$

$(cos^2x-8sen^3x+sen^2x)/(sen^2x)=0$

C.E.

$x!=k180$

$8sen^3-1=0$

$(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0

Per la legge dell'annullamento del prodotto:

$2senx-1=0$

$senx=1/2$ ---> $x=30+k360 ; x=150+k360 $

Poi faccio l'altro:

$4sen^2-2senx+1=0$

Ma il delta mi viene <0!

Quindi avrò sbagliato qualcosa...

ps il libro riporta i risultati:

$x=30+k360 ; x=150+k360$
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Messaggioda Gi8 » 17/03/2011, 13:30

E' quasi tutto giusto. Ci sono solo un paio di errori
shintek20 ha scritto:$8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
In realtà sarebbe $(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$

Comunque, (ponendo $y=sin(x)$) anche $4y^2+2y+1=0$ ha $Delta<0$. Non è sbagliato
Vuol dire che non ha soluzioni. Fine :-D

Quindi la soluzione finale è $x=30+k*360$, $k in ZZ$ $vv$ $x=150+k*360$, $k in ZZ$

Si poteva fare anche più velocemente:
$8sin^3x-1=0 => sin^3x=1/8=> root3(sin^3x)=root3(1/8)=> sinx=1/2$
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Messaggioda @melia » 17/03/2011, 13:35

Il secondo fattore della differenza di cubi NON è mai scomponibile in $RR$, quindi l'equazione di secondo grado associata non ha soluzioni reali, è giusto che il $Delta$ sia negativo.
Potevi risolvere l'equazione come una banale binomia di grado dispari: $ax^(2n+1)=b$ diventa $x^(2n+1)=b/a$ e poi $x=root(2n+1)(b/a)$ che nel tuo caso diventa $8 sin^3 x-1=0$ poi $sin^3x=1/8$ da cui $sinx=1/2$.
Per le binomie di grado pari, invece, da $ax^(2n)=b$ ottieni $x^(2n)=b/a$ e poi $x=+-root(2n)(b/a)$
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Messaggioda shintek20 » 17/03/2011, 13:50

Ok grazie mille ho capito =)
Avrei potuto risolverla anche più velocemente...ci avevo pensato di fare in quel modo ,ma avevo paura di sbagliare XD.
Cmq non riesco invece a capire,anche se non ha importanza,perchè:

$8sen^3x-1=0$ Diventa $(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$ e non quello che avevo scritto io
$8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
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Messaggioda shintek20 » 17/03/2011, 14:05

E poi non riesco a finire questa:
$(cos2x)/(sqrt2cos(pi/4-x)) +sen(pi/2-x)=1$

$(cos2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$

$(cos^2x-sen^2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$

Scrivo il numeratore come differenza di quadrati per poi semplificarlo con denominatore:

$2cosx-senx-1=0$

Applico le parametriche

C.E. $1+tg^2x/2!=0$

Fino ad ottenere l'equazione finale:

$3tg^2x/2+2tgx/2-1=0$

Con i risultati:

$x=1/3 ; x=-1$

E quindi penso di aver sbagliato,anche perchè il libro riporta i risultati:

$x=3/2pi+2kpi; x=\alpha+2kpi; alpha=arctg(3/4)(0<alpha<pi/2)$ :?
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Messaggioda @melia » 17/03/2011, 14:30

Se $tg\ \alpha/2=1/3$ allora $tg alpha=3/4$, quindi la tua soluzione è corretta.

Per la differenza di cubi, basta eseguire la moltiplicazione per rendersi conto della correttezza o no della scomposizione.
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Messaggioda Gi8 » 17/03/2011, 14:34

shintek20 ha scritto:non riesco a capire perchè $8sen^3x-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$ e non $8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
Semplicemente perchè la formula corretta della differenza di due cubi è la seguente:
$a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)$

edit:anticipato :-D
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Messaggioda shintek20 » 17/03/2011, 16:38

@melia ha scritto:Se $tg\ \alpha/2=1/3$ allora $tg alpha=3/4$, quindi la tua soluzione è corretta.


Non capisco il passaggio che fai...
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Messaggioda @melia » 17/03/2011, 17:24

Applico la formula di duplicazione della tangente:
$tg 2x=(2tgx)/(1-tg^2x)$ se $tgx=1/3$ allora $tg 2x=(2*1/3)/(1-1/9)=2/3:8/9=2/3*9/8=3/4$
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Messaggioda shintek20 » 17/03/2011, 17:37

Ok grazie e devo fare la stessa cosa per l'altra soluzione $x=-1$ ?
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