Esercizio limite della tangente

Messaggioda Lory90 » 12/12/2009, 12:04

Ragazzi come lo risolvo questo limite?

$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))$

Io procederei usando l'esponenziale e il logaritmo ma poi non so cosa fare. Aiutatemi per favore.
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Messaggioda Auron » 12/12/2009, 13:29

Ti propongo la mia soluzione che mi è venuta così di getto.
Noi consideriamo un limite, ossia analizziamo l'andamento per $ x-> pi/4 $ ,e in questo caso abbiamo che:

$tgx$ : questo è ovvio, tende a $(1)$

$tg2x$ : in questo caso il valore da considerare è $pi/2$, ma , almeno è come la penso io, x tende a $pi/2$, non ha quel determinato valore. Percorriamo quindi l'asintoto della tangente, che porta a $+ oo$.

EDIT : Edito l'ultima parte in quanto il ragionamento da me effettuato non era corretto. Ringrazio il moderatore Paolo90.
Ultima modifica di Auron il 12/12/2009, 13:44, modificato 1 volta in totale.
$a^n+b^n!=c^n$ per $n>2 in NN^+$

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Messaggioda Paolo90 » 12/12/2009, 13:36

Auron ha scritto:Secondo me siamo di fronte ad una forma del tipo $1^(+oo)$ , il cui risultato è 1.


Io sapevo che $1^oo$ è indeterminata. Almeno, sarai d'accordo con me $1^oo$ non viene sempre $1$.

$lim_(x to oo) (1+1/x)^x= e$. Quindi, la tua risoluzione non è corretta.
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Messaggioda Lory90 » 12/12/2009, 13:55

quindi Paolo secondo te come la dovrei risolvere?
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Messaggioda francy85 » 12/12/2009, 14:00

io farei due trasformazioni e un cambio:

dalla trigonometria puoi riscrivere tg2x come
Immagine

poi farei la sostituzione $k=tgx$

e infine fai il procedimento dell'esponenziale come hai scritto nell'OP.

Ora provo a vedere se viene :-D


PS: solo che mi fa e^1 come risultato che è sbagliato :(

$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))=lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(2*(tg(x))/((1-tgx)*(1+tgx))) $

sostituzione k=tgx e giochino con exp e log

$\lim_{k \to \1}(e)^(2*k*log(k)/((1-k)*(1+k))) $

sostituzione k=a+1
$\lim_{a \to \0}(e)^(2*(a+1)*log(a+1)/((-a)*(2+a)))=e^-1 $
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Messaggioda Lory90 » 12/12/2009, 14:22

anche a me esce come il tuo ma deve dare 1 senza esponenziale
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Re: Esercizio limite della tangente

Messaggioda Seneca » 12/12/2009, 14:23

Lory90 ha scritto:Ragazzi come lo risolvo questo limite?

$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x))$

Io procederei usando l'esponenziale e il logaritmo ma poi non so cosa fare. Aiutatemi per favore.


Ti do uno spunto:

Effettua la sostituzione $z = (2x - pi/2)/2$ in modo da avere $ z -> 0 $

$x = (2z + pi/2)/2$

Ed applica, dopo aver utilizzato l'identità logaritmica, una delle due formule di bisezione razionali:

$tg(x/2) = ( sin(x) )/ (1 + cos(x)) = ( 1 - cos(x) )/ (sin(x))$
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Messaggioda Lory90 » 12/12/2009, 15:35

Sinceramente Seneca non ho capito il tuo metodo. Scusami ma non mi è chiaro. Questo a modo mio è la risoluzione:

$\lim_{x \to \pi/4}(tgx)^(tg(2x)) = \lim_{x \to \pi/4}e^((tg(2x))ln(tgx)) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))(ln(tgx))/((1-tg^2(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}(e^((2tg(x)))ln(tgx)/(-((1-tg(x))(1+tg(x))))) = \lim_{x \to \pi/4}e^(((2tg(x)))/-(1+tg(x))) = e^(-1) $

i procedimenti sono tutti giusti. Qualcuno può dirmi se il limite deve dare realmente $e^(-1) $ magari andando a calcolarla con qualche programma non so.
Fatemi sapere ragazzi.
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Messaggioda Seneca » 12/12/2009, 16:17

Mmmh... Lascia perdere quella strada che ti ho consigliato poco fa.

Sostituisci $ t = x - pi/4$ ( quindi $t -> 0$ ) ed applica l'identità logaritmica:

$[tan(t + pi/4)]^tan(2t + pi/2) = e^{ tan(2t + pi/2) * log [tan(t + pi/4)] }$

Inoltre sai che:

$tan( 2t + pi/2 ) = - cotg(2t) = - cos(2t)/sin(2t)$

e che:

$tan(t + pi/4) = (tan(t) + tan(pi/4))/(1 - tan(t)tan(pi/4)) = ...$

Prova a concludere tu.
Seneca
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Messaggioda francy85 » 12/12/2009, 16:18

si è corretto e^-1 e con la pancia piena ho trovato anche il mio errore di segno in una sostituzione :evil:

Immagine[/img]


Immagine
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