da apatriarca » 04/02/2016, 12:44
Seguendo i consigli di cirasa ottieni che
\[ 6\,A^{-1} = A^2 - 6\,A +11\,I. \]
In realtà non è formalmente corretto moltiplicare per \(A^{-1},\) non avendone ancora provato l'esistenza. Ma è in effetti sufficiente osservare che \(A^{-1},\) se esiste, è l'unica matrice \(B\) per cui \(I = B\,A = A\,B.\) Di fatto è sufficiente dimostrare solo una delle due relazioni. Ma è semplice osservare che si ha la relazione
\[ I = (1/6)(A^3 - 6\,A^2 + 11\,A) = (1/6)(A^2 - 6\,A +11\,I)\,A \]
raccogliendo la matrice \(A\) nell'equazione.