Formule di addizione in seno e coseno [Goniometria]

Messaggioda TooL » 31/05/2012, 17:38

Ciao ragazzi...prima di parlarvi del mio dubbio devo fare una premessa:
Ho provato in vari modi a risolvere le questioni ma non ci sono riuscito...sono stupido xD ergo... chiedo a voi :) sperando che mi illuminiate...Grazie in anticipo :-D



Allora...ho letto, studiato e capito come si dimostra la formula di sottrazione in coseno, con il cerchio goniometrico le coordinate dei punti e bla bla bla...non riesco invece a capire come si possa dimostrare la formula di addizione in coseno con lo stesso metodo grafico... sbaglio sempre qualcosa nella formula o nell' impostazione (molto piu probabile quest'ultima) dell' equazione...fatto sta che non mi esce mai...Infine vi è un metodo analogo per dimostrare quelle dei seni (addizione e sottrazione con il metodo grafico) ?

Vi ripeto grazie in anticipo
TooL
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Re: Formule di addizione in seno e coseno [Goniometria]

Messaggioda Palliit » 31/05/2012, 17:52

Ciao.

Di norma non si dimostrano con lo stesso metodo grafico. Si parte dall'aver ricavato dalla circonferenza la formula di

sottrazione per il coseno: $\cos(alpha-beta)=\cos alpha cos beta + \sin alpha \sin beta$__; in quest'ultima sostituisci a__$beta$__l'angolo:__$-beta$__, così

il primo membro diventa__$\cos(alpha-(-beta))=cos(alpha+beta)$__ed il secondo si trasforma tenendo conto che:

$sin(-beta)=-sin beta$__e__$cos(-beta)=cos beta$. Così ottieni quella di addizione.

Per ottenere quelle per il seno devi invece sostituire nella prima ad $alpha$ l'angolo:__$pi/2-alpha$__e tener presente le relazioni tra seno e coseno di angoli complementari.
Palliit
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Re: Formule di addizione in seno e coseno [Goniometria]

Messaggioda TooL » 31/05/2012, 18:13

Grazie Palliit...questi metodi li conosco gia...il problema è che il mio prof ieri ha fatto una domanda su come si dimostrasse la formula di addizione del coseno con il metodo grafico...quindi poichè domani ho l'interrogazione volevo andare preparato sia su questa domanda...ma eventualmente (sempre se si puo dimostrare cosi) anche preparato su quelle del seno
TooL
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Re: Formule di addizione in seno e coseno [Goniometria]

Messaggioda chiaraotta » 31/05/2012, 20:25

Non sono sicura di aver capito cosa intendi con metodo grafico. Comunque mi sembra che la formula di addizione del coseno si possa dimostrare così.
In un sistema cartesiano $Oxy$ si considera:
1) un segmento $OA$, inclinato di un angolo $alpha$ rispetto al semiasse $x$ positivo, di lunghezza $OA=1$;
2) un segmento $OB$, inclinato di un angolo $-beta$ rispetto al semiasse $x$ positivo, di lunghezza $OB=1$.
Si trovano le coordinate di $A$ e di $B$ che sono:
1) $x_A=1*cos alpha= cos alpha$, $y_A=1*sin alpha=sin alpha$;
2) $x_B=1*cos (-beta) = cos beta$, $y_B=1*sin(-beta)= -sin beta$.
Si calcola il quadrato della lunghezza del segmento $AB$ in funzione delle coordinate dei punti e attraverso il teorema di Carnot:
1) $AB^2 =(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(cos alpha-cos beta)^2+(sin alpha+sin beta)^2=$
$cos^2 alpha -2cos alpha cos beta+cos^2 beta+sin^2 alpha +2sin alpha sin beta +sin^2 beta=$
$1+1-2cos alpha cos beta+2sin alpha sin beta=2(1-cos alpha cos beta + sin alpha sin beta)$;
2) $AB^2=OA^2 + OB^2 -2OA*OB*cos(alpha+beta)=1+1-2cos(alpha+beta)=2(1-cos(alpha+beta))$.
Uguagliando si ottiene
$2(1-cos alpha cos beta + sin alpha sin beta=2(1-cos(alpha+beta))$
da cui
$cos(alpha+beta)=cos alpha cos beta - sin alpha sin beta$.
chiaraotta
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