Hessiano nullo determinazione massimi, minimi e punti sella

[Gp88]

Salve ragazzi, volevo chiedere ma quando in una funzione a 2 variabili ho un determinante hessiano nullo e quindi ho un caso incerto nella definizione di massimo, minimo e punto di sella; come si procede? Ho visto vari metodi: quello della restrizione della funzione ad un solo asse in modo da avere una funzione ad un'unica variabile (ponendo x0= e y=0), ma poi ho visto il metodo di sostituire il fascio di rette y=mx, il metodo dello studio del segno della funzione ecc... Ma dico: un metodo non vale l'altro? quando è consigliabile usare l'uno invece che l'altro metodo?

[previ91]

Ciao ..
da quello che ho capito io a questo punto dovresti studiare l'incremento $f(x,y)-f(x_0 , y_0)$ dove $f(x_0 , y_0)$ è la funzione calcolata nel punto critico.

Poi puoi calcolarlo lungo delle restrizioni , magari quando ti aspetti un punto di sella ; una volta trovi un massimo , una volta un minimo e sei apposto.

Puoi anche vederlo più grossolanamente in maniera grafica.

Qui oggi c'è stata una discussione simile ricerca-punti-di-massimo-minimi-o-sella-t97725.html

Ah una cosa...non devi sempre e per forza restringerti agli assi (io mi rifaccio ai miei esercizi non assicuro niente) , ma puoi calcolare anche lungo altre restrizioni.

[Plepp]

Posta l'esercizio che è meglio

Quando in un punto $P$ hai $\text{det}\mathbf{H}_f$$(P)=0$, puoi procedere in due modi, uno "distruttivo", l'altro "costruttivo"

Il primo è la tecnica delle restrizioni: se riesci a trovare due curve distinte $\gamma_1$ e $\gamma_2$ tali che $f(\gamma_1)$ e $f(\gamma_2)$ (restrizioni di $f$ a ciascuna delle due curve) presentino in $P$ rispettivamente un massimo e un minimo, allora puoi concludere che $P$ è un punto di colle; alla stessa conclusione giungi mostrando che, lungo una particolare curva $\gamma$, $f$ ha un flesso in $P$.

Il secondo metodo, invece, consiste nello studiare la disequazione $f(x,y)-f(P)\ge 0$, e verificare se esiste un intorno $U$ di $P$ in cui essa è sempre vera, sempre falsa, oppure se un siffatto intorno non esiste. Nel primo caso concludi che $f$ ha un minimo locale in $P$, nel secondo caso $P$ è un massimo locale, nel terzo un punto di sella. (In altre parole, questo metodo consiste nell'applicare la definizione di estremo relativo)

Ciao!
Giuseppe

[Gp88]

ok plepp, l'ultima cosa: ma quando considero per esempio le restrizioni devo sapere per forza come è fatta la funzione? Cioè mi spiego se mi trovo x^3 dopo una restrizione, io so chè l'andamento è in un certo modo, quindi in 0 ho un flesso pertanto ho punto di sella. Ma se non conosco l'andamento come faccio a dire che in 0 c'è punto di sella? Ripeto se conoscessi il grafico per ogni funzione lo saprei sempre fare, o almeno credo (:. Potrei immaginare di dare dei valori? scusa la confusione

[Plepp]

Scusami, ma non riesco a inquadrare il problema. Posta un esercizio che è molto meglio!

[Gp88]

{tex}f(x,y)=y^2 - x^4{/tex} in questo caso i grafici restringendo una volta all'asse x e una volta all'asse y sono semplici, ma come posso asserire con certezza analitica che c'è punto di sella? Perchè ci sono dei casi non immediati, la mia idea è quella che una volta ristretta la funzione ad un'unica funzione dopo studio il segno della derivata evedere quando c'è max min o flesso... Giusto così? Ah e poi per le funzioni trigonometriche valgono gli stessi discorsi no? Grazie mile

[Plepp]

Forse ho capito. La funzione $f(x,y)=y^2-x^4$ ha un flesso nell'origine (punto critico per $f$), ed è facile dimostrarlo considerando, per esempio, la restrizione alla curva $\gamma$ di equazione $x^4=y^2-y^3$:
\[f(\gamma)=y^2-(y^2-y^3)=y^3\]
In questo caso sappiamo già che $f(\gamma)=g(y)=y^3$ ha un flesso in $y=0$, il che ci porta a concludere che $f$ ha un punto di sella nell'origine. Se si presenta un caso meno semplice di questo, devi studiare $f(\gamma)$ (funzione di una sola variabile) e vedere se questa ha un flesso nel punto critico che t'interessa. Ovviamente, la scelta della curva $\gamma$ dev'essere furba: in questo caso ho cercato di ottenere, restringendo $f$ a $\gamma$, una funzione semplice ($y^3$), che sapevo già avere un flesso nel punto che mi serviva.

Se, anzichè pensare a una $\gamma$ che ti permetta di procedere come abbiamo fatto, riesci a pensare a due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ lungo le quali $f$ abbia rispettivamente un max e un min, puoi giungere alla stessa conclusione.

Se non riesci a fare nè 'na cosa nè l'altra, applica la definizione di punto di estremo relativo come ti ho mostrato sopra.

Meglio ora?

PS: ah, le funzioni trigonometriche. Ebbè? Subiscono lo stesso trattamento; la legge è uguale per tutti

[Gp88]

Bene Giuseppe, capito il fatto della restrizione, ma solo una domanda di carattere generale, se studio la derivata prima di y^3 (a questo punto di un'unica variabile) ottengo che la derivata qualunque sia y tranne 0 è sempre positiva quindi un flesso crescente, facendo il grafico della derivata come si facevano per le funzioni ad una variabile ottengo tale risultato, mica è sbagliato come ragionamento?

[Plepp]

No, è esattamente quello che devi fare invece: studiare $f(\gamma)$ come una funzione di una variabile.

Se ti interessa, però, il mio parere personale è che sia meglio applicare la definizione in caso di Hessiano nullo: a volte può essere rivelarsi un macello 'sto discorso delle restrizioni, specie quando hai funzioni troppo "sofisticate"...

EDIT: ho dimenticato una cosa importante, seppure ovvia: le varie $\gamma$ a cui restringi $f$ devono essere contenute nel dominio.