Identità Goniometriche

Messaggioda MattiaAlexi » 05/01/2013, 11:28

Salve a tutti! sono nuovo e spero di essere nella sezione giusta.
allora, ho un grosso problema con le identità goniometriche, non riesco a risolvere pur applicando le formule che coonosco a memoria..potete darmi una mano con alcuni esempi che pongo di seguito? grazie mille in anticipo

tg2α 2cos^2α
------- = ----------
tgα cos2α

2cos2α 1
--------- = ---- - tgα
sen2α tgα


sen2α
------- = 2cosα
senα

PS: non so perchè il primo e il secondo non mi metta esattamente in colonna il secondo termine..in ogni caso nel primo il secondo termine è 2cos^2α fratto cs2α e nel secondo il secondo termine è 1 fratto tgα e poi -tgα
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda minomic » 05/01/2013, 11:31

Ciao e benvenuto, per favore leggi le sezione "Come scrivere le formule" nel box rosa sopra ai post.
Partiamo dall'ultima:
$sin(2alpha)/sin alpha=2 cos alpha$. Lavoro sul membro di sinistra e applico la formula di duplicazione. Ottengo

$(2sinalpha*cosalpha)/sin alpha$. Semplifico $sin alpha$ e ho finito...
Per le altre due a che punto sei arrivato?
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda MattiaAlexi » 05/01/2013, 11:55

scusa non avevo visto il box rosa con il metodo, grazie!
allora, grazie mille per quella, le altre due ho proceduto così

1) $(tg2a)/(tga) = (2cos^2a)/(cos2a)$

$(2tga)/(1-tga)/(tga)=(2cos^2a)/(cos^2a-sen^2a)$

$(tga)/(1-tga)=(2cos^2a)/(cos^2a-sen^2a)$

e oltre non sono riuscito

2) $(2cos2a)/(sen2a)=(1)/(tga)-tga$

$(2cos^2a-2sen^2a)/(2senacosa) = (1)/(sena)/(cosa) - (sena)/(cosa)$

dividendo prima per $cosa$ e poi per $sena$

$(2cos^a-2sen^2a)/(2sena) = 1-1$

ma non credo sia giusto il procedimento
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda minomic » 05/01/2013, 12:04

Prendiamo la prima: non è corretta la formula di duplicazione della tangente.
$tan 2alpha = (2tan alpha)/(1-tan^2 alpha)$.
Applichiamo questa al membro di sinistra e viene
$2/(1-tan^2 alpha)$. Adesso cambio $tan^2 alpha = (sin^2 alpha) / (cos^2 alpha)$. Faccio il minimo con il $cos^2 alpha$ e... ce la fai da qui?

PS. Di solito nelle identità non si fanno incontrare i due membri a metà strada :) Significa che dovresti partire da uno e andare avanti fino a quando non è come l'altro. Poi ovviamente si fa come si può... :wink:
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda MattiaAlexi » 05/01/2013, 12:13

allora.. uhm... vorresti dire che io dovrei fare $2/(1-tg^2a)$ in questo modo $2/(1-(sin^2a)/(cos^2a))$ e rendere il denominatore $(cos^2a - sin^2a)/(cos^2a)$?
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda minomic » 05/01/2013, 12:15

Giusto, poi quel $cos^2 alpha$ passa sopra (perchè dividi per una divisione) e ricordando che $cos^2 alpha - sin^2 alpha = cos 2alpha$ abbiamo finito.
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda MattiaAlexi » 05/01/2013, 12:25

Grazie mille davvero!
poi avevo un'altro arcano mistero che non riuscivo a risolvere..

$(1+sen2a)/(1+cos2a) = 1/2*(1+tga)^2$ ...questa proprio non la capisco!
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda minomic » 05/01/2013, 12:37

Questa è un po' più difficile... Ti faccio vedere l'inizio poi provi tu :)
Parto da destra e svolgo il quadrato: $1/2+1/2 tan^2 alpha + tan alpha$
Raccolgo $1/2$ dai primi due termini e scrivo l'ultima tangente come $tan alpha = (sin alpha)/(cos alpha)$
$1/2(1+tan^2 alpha)+(sin alpha)/(cos alpha)$.
Scrivo la tangente al quadrato come $tan^2 alpha = (sin^2 alpha)/(cos^2 alpha)$.
Adesso fai il minimo dentro alla parentesi, poi fai il minimo su tutta l'espressione...
Se hai qualche problema fai un fischio! :-D
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda @melia » 05/01/2013, 12:47

Oppure prendi il primo membro
$(1+sen2a)/(1+cos2a) = $ applichi la duplicazione
$=(1+2sinacos a)/(1+2cos^2a-1) = $ consideri la prima relazione fondamentale e trasformi $1=sin^2 a+cos^2 a$
$=(sin^2 a+cos^2 a+2sinacos a)/(2cos^2a) = $ riconosci il quadrato a numeratore
$=(sin a+ cos a)^2/(2cos^2 a)=$ due conti
$=1/2((sina+cos a)/cos a)^2=$ spezzi la frazione
$= 1/2 (sin a/cos a +1)^2=1/2 (tan a +1)^2$
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Re: Identità Goniometriche

Messaggioda minomic » 05/01/2013, 12:52

Bella anche questa!

@MattiaAlexi: come ti abbiamo fatto vedere in questo caso si poteva partire da entrambi i membri ma non sempre è così. O meglio... è vero che un'uguaglianza si può sempre leggere in entrambi i sensi ma a volte uno dei due membri è talmente "concentrato" che non si riesce a lavorarci.
Ciao.
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