Integrale con radice quadrata

[Orlok]

Salve,

Volevo chiedere come occorre procedere quando si ha a che fare con un integrale di questo tipo:

$\int \frac{1}{\sqrt {ax^2+bx+c}}dx$

Ho provato ad esprimere il polinomio come il prodotto $a(x-x_1)(x-x_2)$ ma a quel punto non so più come continuare.

Grazie

[Hawk88]

Riscrivi l'integrale in questo modo:

$ int_()^() (ax^2 + bx + c)^(-1/2) dx $

Prova a scomporre $ ax^2 + bx + c $ e vedi cosa riesci a combinare, magari usando il metodo di sostituzione.

[K.Lomax]

Non puoi rispondere in maniera generale, in quanto dipende dai valori che assumono \( \displaystyle a \) , \( \displaystyle b \) e \( \displaystyle c \) .
Puoi avere 3 casi:

1) \( \displaystyle ax^2+bx+c \) è un quadrato perfetto che corrisponde a \( \displaystyle \Delta=0 \) . La primitiva diventa banalmente un logaritmo.
2) Le soluzioni dell'equazione \( \displaystyle ax^2+bx+c=0 \) sono immaginarie, ovvero \( \displaystyle \Delta<0 \) . In questo caso ti devi riportare ad una forma tale da poter sfruttare il seguente integrale immediato:

\( \displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sinh^{-1}(x)+c \)

3) Se \( \displaystyle \Delta>0 \) e \( \displaystyle a<0 \) , allora ti devi ricondurre al seguente integrale immediato:

\( \displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}(x)+c \)

[Orlok]

Ok. Ci provo. Grazie.

[Mathcrazy]

Quell'integrale può essere risolto con una sostituizione.

Distinguiamo due casi:

1. \( \displaystyle a > 0 \)

Imponi \( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(x-t) \) (*)

Da questa ricavi la \( \displaystyle x \) (dopo aver elevato al quadrato entrambi i membri) e, ovviamente anche il \( \displaystyle dx \) .
Dopodichè sostituisci ed il gioco è fatto.
Cioè, per essere chiaro al massimo::

Elevo entrambi i membri al quadrato:

\( \displaystyle {ax^2+bx+c} = a \cdot(x^{2}+t^{2}-2xt) \)

\( \displaystyle bx+c = a t^{2}-2axt \)

\( \displaystyle x(b+2at) = at^2 -c \)

\( \displaystyle x= \frac {at^2 -c} {b+2at} \) (**)

\( \displaystyle dx = \frac{2at (b+2at) - 2a (at^2 -c)} {(b+2at)^2} =\frac{2a^2t^2+2atb+2ac} {(b+2at)^2} \) (***)

Ora ritorna alla (*) e al posto di \( \displaystyle x \) mettiamo il valore ottenuto dalla (**)

\( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(\frac {at^2 -c} {b+2at}-t) \)

Quindi ritornando all'integrale iniziale, basta sostituire al posto della radice l'ultima espressione trovata e al posto di \( \displaystyle dx \) il valore ottenuto (***).
Così facendo, molto spesso si giunge ad un integrale molto semplice.


______
2. \( \displaystyle a < 0 \)

Imponi \( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c} = t \cdot (x-x_1) \) dove \( \displaystyle x_1 \) è una radice di \( \displaystyle ax^2+bx+c = 0 \)
Procedi come nel primo caso.

[Orlok]

Ma intuitivamente come si fa a riconoscere il giusto metodo da utilizzare per la risoluzione di un integrale indefinito (per parti, sostituzione, decomposizione) ? E soprattutto, la scelta è univoca o può capitare che un integrale si possa risolvere con più di un metodo?

[Mathcrazy]

Ma intuitivamente come si fa a riconoscere il giusto metodo da utilizzare per la risoluzione di un integrale indefinito (per parti, sostituzione, decomposizione) ? E soprattutto, la scelta è univoca o può capitare che un integrale si possa risolvere con più di un metodo?

La scelta non è univoca, tuttavia è conveniente riuscire a capire qual'è il metodo più veloce per risolvere un determinato integrale e in questo gioca un ruolo essenziale l'esperienza che si acquisisce solo facendo molti esercizi.