Integrale per parti

[agomath]

Ciao gente, risolvendo un integrale doppio arrivo ad essere solo nella variabile x e ad avere il secondo integrale, che dovrebbe essere risolto per parti, vi chiedo di potermi dire se lo faccio correttamente.

L'integrale è $1/2*\int_0^(pi/2) x^2* sin(2x) dx$

Ebbene, posto come termine non differenziale, chiamiamolo $\f$, $\x^2$ e come termine differenziale $\sin(2x)$, chiamiamolo $\g'$, avremo:

$\ 1/2*[-cos(2x)/2 * x^2* + 1/2 intcos(2x) * 2x dx]_0^(pi/2)$

Quindi a questo punto quell'integrale ottenuto va fatto ancora per parti, ponendo $\cos(2x)$ pari a $\g'$ e $\2x $ pari a $\f $, in modo che,derivando, questo termine lineare mi diventa una costante.

Dovremmo avere che il termine integrale diventa:

$\ 1/2* [sin(2x)/2 * 2x + 1/2 int sin(2x) * 2 dx]_0^(pi/2)$

Ed ecco che abbiamo un integrale immediato, infatti $\int sin(2x) * 2$ è uguale a $\ -cos(2x)$

Raggruppando il tutto dovremmo quindi avere:

$\1/2*[-cos(2x)/2 * x^2 + 1/4 * [sin(2x)/2* 2x -1/2 * cos(2x)]]_0^(pi/2)$

E adesso si sostituiscono gli estremi e si risolve.

Ditemi se ho scritto qualche castroneria per favore

Comunque l'integrale di partenza era:

$\int int x^2* y dx dy $, integrale da risolvere lungo D, in cui $\D={x,y} in R^2 : 0<=x<=pi/2, 0<=y<=sqrt sin(2x) $

[ciampax]

Nella seconda formula dei risultati che hai scritto, dall'alto, ci va un $-$ davanti all'integrale, di conseguenza nell'ultima formula il termine $\cos(2x)$ nella parentesi quadra più interna ha segno $+$.

[Lorin]

L'ho provato a fare e non mi trovo con un segno , ora provo a postarti i miei passaggi, così li confrontiamo:

$ 1/2int x^2sin(2x)dx $ , ho posto $ { ( f(x)=x^2 ),( g'(x)=sin(2x) ):} =>{ ( f'(x)=2x ),( g(x)=-cos(2x)/2 ):} $, quindi applicando l'integrazione per parti avremo:

$ 1/2int x^2sin(2x)dx = 1/2{-x^2/2cos(2x)+int xcos(2x)dx} $ ; ora se indichiamo con $A=int xcos(2x)dx$, applichiamo di nuovo l'integrazione per parti e abbiamo:

$ { ( f(x)=x ),( g'(x)=cos(2x) ):} => { ( f'(x)=1 ),( g(x)=sin(2x)/2 ):} $ , seguendo il ragionamento sarà:

$ int xcos(2x)dx = [x/2sin(2x)-int sin(2x)/2dx] $, che unito alle soluzioni di prima, avremo:

$ 1/2int x^2sin(2x)dx= 1/2{-x^2/2cos(2x)+[x/2sin(2x)-1/2int sin(2x)dx]} $ ; facendo attenzione al fatto che $int sin(2x)dx=-cos(2x)/2$, allora possiamo concludere che:

$ 1/2int x^2sin(2x)dx= 1/4[-x^2cos(2x)+xsin(2x)+1/2cos(2x)]

[agomath]

Grazie per le risposte ragazzi è che avevo dimenticato che nella formula di integrazione per parti c'era il meno anzichè il più, sorry