Iperbole tangente ad una retta in un punto.

[caseyn27]

Scrivere l'equazione dell'iperbole, riferita agli assi e al centro, tangente alla retta 4x-y-3=0 nel punto di ascissa 1.

Sostituisco 1 alla retta e mi viene il punto (1;1) e sostituisco le coordinate nell'equazione dell'iperbole.
Poi faccio sistema tra equaz generale iperbole e la retta e pongo Delta=0.
Poi faccio di nuovo sistema, ma mi vengono calcoli troppo lunghi con termini ^8 e nn mi viene.
C'è un altro modo più veloce??

[giammaria]

Primo suggerimento: poni $u=\pm 1/(a^2)$ e $v=\mp 1/(b^2)$; l'equazione dell'iperbole può essere scritta nella forma $ux^2+vy^2=1$ con la condizione che u, v abbiano segni diversi. Imponi subito che l'iperbole passi per (1,1) e ottieni v=1-u. Lavorando poi con la sola u, fai sistema tra retta e iperbole e poni Delta=0. Non ho provato a fare i calcoli, ma non dovrebbero essere lunghissimi.
Possono essere abbreviati con un altro ragionamento: abbiamo già imposto che le due curve si incontrino in (1,1) quindi una soluzione dell'equazione, supposta nell'incognita x, è x=1. L'equazione stessa può quindi essere scritta nella forma (x-1)(px+q)=0 che è anche una conferma di non aver sbagliato i calcoli. L'altra soluzione è x=-q/p e si ha tangenza se anche lei vale 1, cioè se q=-p.

[franced]

Il punto di tangenza è, ovviamente, $P(1;1)$.

L'iperbole può essere scritta nella forma $u*x^2 + v*y^2 - 1 = 0$ con $u*v < 0$.

La retta tangente può essere scritta nella forma $4/3*x - 1/3*y - 1 = 0$.

Utilizzando le formule di sdoppiamento abbiamo

$u*x* x_0 + v*y * y_0 - 1 = 0$

sostituendo $x_0 = 1$ e $y_0 = 1$ abbiamo

$u*x + v*y - 1 = 0$

confrontando con la retta tangente otteniamo

${(u=4/3),(v=-1/3):}$

e quindi l'iperbole ha equazione cartesiana

$4/3*x^2 - 1/3*y^2 - 1 = 0$

moltiplicando per $3$ abbiamo

$4*x^2 - y^2 - 3 = 0$ .

[franced]

[mod="franced"]Ho modificato il titolo.
Ora si capisce l'argomento..[/mod]