limite con parametro

Messaggioda gabriello47 » 21/12/2012, 17:57

L'esimio prof.C. ha pensato bene, per far fare un po' di ginnastica mentale ai suoi allievi, di sottoporli il seguente problema:
Calcolare:
$lim_(x->0^+)((sin(3x))^2+(tan(2x))^3-9x^2)/(sqrt(1-cos(4x))+(sin(x))^(k-2))$ con $k in RR$.
ho pensato di semplificare l'ambaradan utilizzando limiti notevoli e prop. invariantiva. Mi viene:

$8x^3/x^(k-2)$, essendo $(sin(3x)/(3x))^2*9x^2=9x^2$; $(tan(2x)/(2x))^3*8x^3=8x^3$ ;$sqrt(1-cos4x)=0$ e $(sinx/x)^(k-2)*x^(k-2)=x^(k-2)$.
ottengo quindi:
$8*lim_(x->0^+)(x^(5-k))$ che per $k!=5$ fa $0^+$. Per $k=5$ ottengo una forma indeterminata $0^0$ che ho provato a sciogliere ricorrendo alla forma $e^((5-k)*lnx)$ ma non ho trovato il risultato corretto che "dovrebbe essere" 0, come mi risulta dal grafico della funzione per $k=5$.
Quindi ho pensato di rivolgermi agli amici del forum sempre preparati e gentilissimi ai quali tutti approfitto dell'occasione per augurare un Natale ricco di soddisfazioni, non solo matematiche.
P.S Attenti al colesterolo che annebbia la mente!
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Re: limite con parametro

Messaggioda giammaria » 22/12/2012, 10:18

Comincio a scrivere il tutto come

$L=lim_(x->0^+)(tg^3 2x+sin^2 3x-9x^2)/x^3*x^3/(sqrt(1-cos4x)+sin^(k-2)x)$
Indico con A il limite della prima frazione ed ho

$A=lim_(x->0^+)((tg^3 2x)/(8x^3)*8+(sin3x+3x)/(3x)*3*(sin3x-3x)/x^2)=8+2*3*lim_(x->0^+)(sin3x-3x)/x^2$
Per quest'ultimo limite devo usare L'Hospital e trovo facilmente che è zero; quindi $A=8$. Riprendo ora $L$ e noto che

$sqrt(1-cos4x)=sqrt(1-(1-2sin^2 2x))=sqrt2 sin2x$ (senza valor assoluto per la tendenza a $0^+$)
e quindi

$L=8lim_(x->0^+)x^3/(sqrt2sin2x+sin^(k-2)x)=8lim_(x->0^+)x^2/(sqrt2(sin2x)/(2x)*2+(sinx/x)^(k-2)*x^(k-3))$
Qualunque sia il valore di $k$, il denominatore non tende a zero, perciò $L=0$.

Buon Natale anche a te!
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: limite con parametro

Messaggioda gabriello47 » 22/12/2012, 19:50

grazie a Giammaria per l'ottimo svolgimento. Invidio molto tutti quelli capaci di certi "artistici" artifici di calcolo perchè credo che non ne sarò mai capace.
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Re: limite con parametro

Messaggioda giammaria » 22/12/2012, 21:30

Dai, è solo questione di esperienza. Puoi essere certo che quando ero agli inizi avrei avuto difficoltà; e anche adesso ho dovuto pensarci un po'. Comunque, prego.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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