limite diffcile .....

Messaggioda silstar » 13/12/2009, 12:34

ciao, sto facendo questo limite
$ lim [cosx-sqrt(1-x^2)]/x^4$ il limite tende a $0$
io ho razionallizato numeratore e denominatore ..ma ottengo sempre la forma indeterminata $0/0$!!
non posso usare l'hopital....come potrei svolgere il limite? grazie mille anticipatamente
silstar
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Messaggioda ralf86 » 13/12/2009, 12:53

Puoi provare a espandere il numeratore in serie di Taylor fino al 4 ordine intorno a x=0.
Lo sviluppo di Taylor è utilissimo per calcolare i limiti, anzi forse è la cosa più utile per i limiti, perchè in pratica riconduce qualsiasi limite, anche di funzioni complicate, al caso di limiti tra polinomi, che è facile! L'unica piccola difficoltà è capire fino a che ordine sviluppare le varie funzioni, più che altro per evitare di dover fare lunghi calcoli per trovare termini dello sviluppo che in realtà si rivelano inutili per calcolare il limite

Perchè fino al quarto ordine?
Io ragiono così: sia questa radice che il coseno ti danno solo temini di taylor con esponente pari (sono infatti funzioni pari). In questo caso sviluppare sia la radice che il coseno fino all'ordine "zero" non basta e nemmeno fino all'ordine 2 perchè in entrambi i casi i termini degli sviluppi si semplificherebbero e ti rimarrebbero solo degli o piccoli al numeratore (oppure O grandi a seconda dell'accuratezza con cui scrivi il resto dello sviluppo). (*)
Questo permette già di dire "a occhio" che il limite esiste finito. Più precisamente sarà uguale a zero se e solo se anche i termini di ordine 4 si semplificano (non mi sembra questo il caso)

(*) Sviluppare in ordini diversi (ad es. fino al 2 per il coseno e fino al 4 per la radice) non ti aiuta perchè per x che tende a zero gli $x^4$ sono trascurabili rispetto agli $x^2$. In generale quindi non aiuta se devi sviluppare 2 funzioni che si sommano tra loro.
Ultima modifica di ralf86 il 13/12/2009, 13:23, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda silstar » 13/12/2009, 12:56

il problema è che non ho ancora studiato nè l'hopital nè taylor..sono al v anno dello scientifico e posso usare solo gli infinitesimi o i limiti notevoli...
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Messaggioda lordmarcho » 13/12/2009, 12:58

Concordo con Ralf86, il metodo più diretto che mi viene in mente è quello di espandere Taylor (poi in questo caso Mc Laurin per fortuna) fino al quarto ordine: l'idea del quarto ordine ti viene data dal denominatore che è molto semplicemente $x^4$ e diciamo che indica la potenza di riferimento!
Ero restio a dirtelo però... perchè non so se abbiate fatto i polinomi di Taylor!
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Messaggioda silstar » 13/12/2009, 14:03

no, ancora non ho studiato taylor...
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Re: limite diffcile .....

Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 14:34

silstar ha scritto:ciao, sto facendo questo limite
$ lim [cosx-sqrt(1-x^2)]/x^4$ il limite tende a $0$
io ho razionallizato numeratore e denominatore ..ma ottengo sempre la forma indeterminata $0/0$!!
non posso usare l'hopital....come potrei svolgere il limite? grazie mille anticipatamente



Altro metodo:

$ lim - [- cosx + sqrt(1-x^2)]/x^4$

$ lim - [1 - cosx + sqrt(1-x^2) - 1]/(x^2 * x^2)$

Ora dovresti vedere bene quali limiti notevoli applicare.
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Messaggioda silstar » 13/12/2009, 15:01

ciao, il primo limite notevole da utilizzare è sicuramente $(1-cosx)/(x^2) = x^2/2 $ ma non so come trasformare la radice....
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Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 15:10

E' un limite notevole che spesso non si fa, ma secondo me è molto utile.


$lim_(z -> 0) (( 1 + z )^(k) - 1 )/z = k$

Cerca di ricondurti a questo.
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Messaggioda silstar » 13/12/2009, 15:29

ciao, grazie di avermi risposto..
ho provato a farlo...
allora $ 1/x^2 *[(-1+cosx)/x^2 +(sqrt(1-x^2)-1)/x^2]$
quindi $ 1/x^2*[ -x^2/2+1/2] $
non so se ho fatto giusto...
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Re: limite diffcile .....

Messaggioda Seneca » 13/12/2009, 15:35

$ lim - [1 - cosx + sqrt(1-x^2) - 1]/(x^2 * x^2)$


$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] * [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ]$

E attenta che:

$lim_(x ->0 ) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2$ non $1/x^2$

E per quanto riguarda il secondo limite dovresti cambiare variabile: $- x^2 = z$
Seneca
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