Numeri complessi -elevamento a potenza

Messaggioda Camillo » 07/01/2004, 13:07

*Segnalo un risultato sorprendente e che trovo interessante.
Indico con i la radice quadrata di : -1, cioè l'unità immaginaria.

i^i = numero reale = e^(-pi/2)= 0.2078795....

Quindi l'unità immaginaria elevata a se stessa dà un numero reale !

Infatti posso scrivere : i^i = e^(i*lni).
Se esprimo i in forma esponenziale ottengo : i= e^(pi/2) e quindi: ln i =i*pi/2 per cui :
i^i = e^(i*ln i) = e^(i*i*pi/2)= e^(-pi/2) come appunto si era detto .
Che significato può avere che : i^i è un numero reale ??

* Si può generalizzare quanto sopra dicendo che :
qualunque numero complesso di modulo unitario elevato a i è un numero reale .
Infatti, usando la notazione esponenziale il generico numero complesso z di modulo uguale a 1 si esprime come : z= e^(i*teta).
Allora : z^i = (e^(i*teta))^i = e^(- teta)= numero reale .


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Messaggioda goblyn » 07/01/2004, 14:03

I numeri complessi riservano molte sorprese...
Si potrebbe definire una funzione C (da camillo <img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>) definita sui complessi di modulo unitario (insieme C1):

C: C1-->V
C(k)-->k^i con k appartenente a C1

V è l'insieme dei reali compresi tra 0 ed e^(-2*pi).

C è una funzione biunivoca da C1 a V.

Cosa può rappresentare C1?

A me viene in mente che la trasformata Z di una successione, se valutata in z=e^(i*teta) (cioè sulla circonferenza unitaria nel piano complesso), dà la trasformata di Fourier. C potrebbe essere usata quindi per esprimere tale trasformata in maniera alternativa. Utilità? mah forse nessuna ma a volte è bello anche solo giocare no?
goblyn
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Messaggioda karl » 07/01/2004, 16:33

Come dice goblyn il campo complesso di sorprese
ne sforna...
La potenza z^(a),con base ed esponente entrambi complessi,si definisce
cosi':
(1) z^(a)=e^(a*ln(z)).
Ora, com'e' noto,risulta:
ln(z)=ln(r)+i*(teta+2k*pg) dove:
r=|z|, teta=argomento principale di z,pg=p-greca, k in Z.
Sostituendo in (1) risulta:
z^(a)=e^(a*(ln(r))*e^(a*i*(teta+2k*pg)).
Da qui si vede che z^a ha infiniti valori (funzione polidroma o infinitiforme).
In particolare ,ponendo a=z=i ,si ha:

i^i=e^(i*ln(1))*e^(i*i*(pg/2+2k*pg)) ovvero

(2) i^i=e^(-pg/2-2k*pg) sempre con k in Z

Ne segue che i^i ha,al variare di k, infiniti valori (reali) di cui uno e' quello ottenuto da Camillo e che si puo' riottenere dalla (2)
per k=0.Essi sono disposti secondo una progressione geometrica
di ragione q=e^(-2*pg).
In conclusione il fatto che i^i abbia (infiniti) valori reali
dipende,secondo me, da come si definisce la potenza con base ed esponente entrambi complessi, e non da una intrinseca proprieta' di
numeri siffatti.Poi... vai a capire.
Le sorprese appunto.
karl.
karl
 

Messaggioda Paolo Campanella » 27/01/2004, 20:41

Vorrei chiedere informazioni sulle condizioni di maggioranza, minoranza o le altre infinite possibili tra i numeri complessi.
Mi spiego: anche se ho trovato su alcuni siti e libri di matematica che le operazioni di maggioranza e minoranza non sono definite sui numeri complessi ho pensato che se nel piano di Gauss 2>1 significa che 2 appartiene alla semiretta di origine in due è con argomento uguale a zero, mentre 5<7 significa che 5 appartiene alla semiretta di origine in 7 è con argomento uguale pi greco. Potremmo quindi dire che 5+2i>3+2i, ma non potremmo dire né che i>0 o di qualunque altro numero reale né che i<0 o di qualunque altro numero reale.
Alla luce di ciò potremmo considerare le operazioni di maggioranza e di minoranza la prima come “relazione di confronto di argomento 0” la seconda come “relazione di confronto di argomento pi greco” e inoltre dire che i è “in relazione di confronto di argomento pi greco/2” a 0 e che i è “in relazione di confronto di argomento 3/4 pi greco” a 1.
Dato che con l'ampliamento ai numeri complessi non esistono più solo due argomenti: sarebbe logico non considerare più soltanto due relazioni (>, <) ma infinite relazioni come sono infinite le argomenti.
Quello che voglio dire è che non voglio ordinare i numeri ma semplicemente trovare una relazione d’ordine tra due numeri, punti nel piano di Gauss, che si riduce a maggiore o minore per i numeri reali o aventi la stessa parte immaginaria ma che sia diversa e abbia significato diverso in altri casi con infiniti tipi di relazioni come infiniti sono i possibili argomenti.
Ora ad esempio i confrontato a 0 non è maggiore, o come abbiamo definito prima la maggioranza, non è in “relazione di confronto di argomento 0”; né è minore , o come abbiamo definito prima la minoranza, non è in “relazione di confronto di argomento pi greco”; ma sarebbe in “relazione di confronto di argomento pi greco/2”.
Concorde a questa teoria potrebbe essere il secondo principio di equivalenza per le disequazioni, infatti se 2 è “in relazione di confronto di argomento 0” a 1 e moltiplichiamo tutto (compresa la relazione) per -1 otteniamo -2 “è in relazione di confronto di argomento pi greco” a -1.
Se la moltiplicassimo per i verrebbe 2i è “in relazione di confronto di argomento pi greco/2” a i.
Vorrei chiedere se può indicarmi se in questa teoria c'è qualche errore o se conosce qualcosa di simile e può indicarmi dove trovarla.
Paolo Campanella
Paolo Campanella
 


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