Ordine di infinitesimo

Messaggioda ZReticuli » 21/02/2008, 16:27

Salve, ragazzi sono uno studente di ingegneria, e sono nuovo da queste parti. Derideravo sapere se qualcuno potrebbe spiegarmi il significato dei simboli di Landau, o piccolo e O grande e come vanno utilizzati nel calcolo dei limiti. O provato studiarli dal libro ma non ci capisco un corno.
Grazie anticipatamente.
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o Piccolo e O Grande

Messaggioda ZReticuli » 25/02/2008, 15:08

Salve, ragazzi sono uno studente di ingegneria, e sono nuovo da queste parti. Derideravo sapere se qualcuno potrebbe spiegarmi il significato dei simboli di Landau, o piccolo e O grande e come vanno utilizzati nel calcolo dei limiti. O provato studiarli dal libro ma non ci capisco un corno.
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Messaggioda Luc@s » 25/02/2008, 15:38

ti dicono 2 cose
-l' o ti dice la funzione è infinitesima
-l'O che la funzione è limitata

Cioè hai che per $ x \to \x_0$ $sin(x) = x+ o(x)$ cioè che nel punto $x_0 = 0$ il seno si comporta come x + un "resto" che essendo infinitesimo(tendente a 0) lo puoi "ignorare"
Esempio:

$lim_{x \to 0} \frac{senx}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x + o(x)} {x} => 1/1 = 1$

In questo modo molti limiti notevoli sono semplificati
Inoltre hai

$sin(x)=sinh(x)=x+o(x)$
$cos(x)=cosh(x)=1+o(x)$
$e^x = 1 + x + o(x)$

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Messaggioda ZReticuli » 26/02/2008, 17:52

Grazie. Adesso o le idee più chiare.
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Messaggioda Megan00b » 26/02/2008, 18:51

Sì, però l'o può indicare anche l'ordine di infinito.
$o(e^x)$ in un intorno di infinito è una funzione infinita.
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Messaggioda ZReticuli » 05/03/2008, 16:53

Grazie Megan00b, ma ti riferisci O grande?Ma come va utilizzato?
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Messaggioda Megan00b » 05/03/2008, 23:22

l' O grande non vuol dire necessariamente che una funzione è limitata. Vuol dire che il suo modulo è limitato dal modulo di un'altra funzione a meno di moltiplicazione per costante.
Se f e g sono funzioni infinitesime in $x_0 in RR U{+oo,-oo}$:
f è un infinitesimo in $x_0$ di ordine superiore a g se:
"f va a zero più velocemente di g" cioè più formalmente se $lim_{x to x_0}f(x)/g(x)=0$
in tal caso scriviamo $f=o(g)$ per $x->x_0$
f e g sono infinitesimi dello stesso ordine se
$lim_{x to x_0}f(x)/g(x)=c$ con $c in RR-{0}$
C'è poi un'altra notazione parallela ma indipendente che è l'O grande:
$f=O(g) per x->x_0$ se $|f(x)|<=K|g(x)|$.
Dunque $f=o(g) => f=O(g)$ ma non viceversa.

Se f e g sono funzioni infinite in $x_0 in RR U{+oo,-oo}$:
f è un infinito in $x_0$ di ordine superiore a g se:
"f va a infinito più velocemente di g" cioè più formalmente se $lim_{x to x_0}g(x)/f(x)=0$
in tal caso scriviamo $g=o(f)$ per $x->x_0$
f e g sono infiniti dello stesso ordine se
$lim_{x to x_0}g(x)/f(x)=c$ con $c in RR-{0}$
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Messaggioda ZReticuli » 10/03/2008, 18:58

Grazie, per la spiegazione dettagliata.
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