Periodicità di una funzione

[rosannacir]

Ciao a tutti,
premetto che non mi sono mai trovata dinanzi al calcolo del periodo di funzioni particolarmenti difficili...ma lo studio di funzioni goniometriche mi costringe a conoscere bene come si calcola. Vorrei da voi una spiegazione esauriente e semplice con degli esempi. Grazie mille.
(Ad esempio la funzione che sto studiando è: $f(x)=\frac{\tan x}{(1+\tan x)^{2}}$ ....con dei calcoli a tentativi ho visto che è periodica di periodo $T=\pi $ ma vorrei capire come si utilizza questa formula: $f(x)=f(x+kT)$? E' uguale a $f(x)=f(x+k\omega )$?)

[rosannacir]

Leggendo dai vostri post precedenti ho cercato di trovare una soluzione: la periodicità di $\tan x$ è $\pi $.
Come risolvo il denominatore $(1+\tan x)^{2}$ ? $( 1+\pi)^{2}$???? Bo! Non ho idea
HELP

[Seneca]

$(tan(x))/(1 + tan(x))^2$

$((sin(x))/(cos(x)))/(1 + (sin^2(x))/(cos^2(x)) + 2 (sin(x))/(cos(x))) =$

$((sin(x))/(cos(x)))/((cos^2(x) + sin^2(x) + 2 sin(x) cos(x))/(cos^2(x)) ) = 1/2 * (sin(2x))/( 1 + sin(2x)) =$

$1/2 * (1 + sin(2x) - 1)/( 1 + sin(2x)) = 1/2 ( 1 - 1/( 1 + sin(2x)))$

Che è molto più semplice.

[rosannacir]

Ti ringrazio Seneca ma non ho proprio idea di come continuare. Su internet ho trovato informazioni ed ho calcolato che $\sin (2x)$ ha periodo $\frac{2\pi }{2}=\pi $ qiundi la funzione è periodica di periodo $\pi $? E il resto della frazione?! Sai qual'è il mio problema? Che su questo argomento non ho le basi teoriche...poi su internet molti scrivono che non c'è un metodo esatto per calcolarlo. Come devo fare?

[Seneca]

Ti ringrazio Seneca ma non ho proprio idea di come continuare. Su internet ho trovato informazioni ed ho calcolato che $\sin (2x)$ ha periodo $\frac{2\pi }{2}=\pi $ qiundi la funzione è periodica di periodo $\pi $? E il resto della frazione?! Sai qual'è il mio problema? Che su questo argomento non ho le basi teoriche...poi su internet molti scrivono che non c'è un metodo esatto per calcolarlo. Come devo fare?

Non disperare.

In questo caso è tutto semplice. Penso si possa fare così:

Sei d'accordo che se la funzione $f$ ha periodo $T$, anche la funzione $1/f$ ha periodo $T$? (*)

E' subito chiaro che $sin(2x)$ ha periodo $pi$. Anche $1 + sin(2x)$ ha periodo $pi$ (ho solo traslato il sistema di riferimento).

Per la considerazione (*) (che sarebbe da dimostrare) anche $1/(1 + sin(2x))$ ha periodo $pi$, quindi anche $ 1/2 ( 1 - 1/2 * 1/(1 + sin(x)))$ ha lo stesso medesimo periodo di $sin(2x)$ ( $h + k f(x)$ ha lo stesso periodo di $f(x)$ ).

[rosannacir]

Grazie mille. Ma esistono delle regole generali alle quali fare riferimento? Non so...anche con degli esempi che mi permettano di capirle e non dimenticarle più. Sinceramente è la prima volta che mi capita di affrontare un argomento per il quale sui libri e su internet non vi sono delle teorie applicabili! Strano...no?!

[Seneca]

Grazie mille. Ma esistono delle regole generali alle quali fare riferimento? Non so...anche con degli esempi che mi permettano di capirle e non dimenticarle più. Sinceramente è la prima volta che mi capita di affrontare un argomento per il quale sui libri e su internet non vi sono delle teorie applicabili! Strano...no?!

Infatti la determinazione del periodo di una funzione non è - in generale - cosa facile. Non ti verrà mai chiesto di determinare il periodo di una funzione pazzesca; di solito gli esercizi che vengono dati sono addomesticati in modo tale da permettere, usando magari le formule goniometriche, di stabilire il periodo.

[rosannacir]

Lo spero perché non saprei dove sbattere la testa. Mai fatti esercizi del genere....il problema è che ho bisogno di conoscere la periodicità delle funzioni per facilitarmi i calcoli per lo studio del grafico