Piano inclinato - caduta grave

[Ghemon]

Salve a tutti.
Devo confrontare la velocità raggiunta da un corpo alla base di un piano inclinato con la velocità raggiunta da un corpo lasciato cadere da un altezza h ( la stessa de piano inclinato ).
Ho calcolato il tempo per il piano inclinato:
$ t=sqrt(2L/g) $
dove L è la lunghezza del piano ( l'ipotenusa del triangolo rettangolo)
Il tempo di caduta del grave:
$ h=sin a*L $

$ t=sqrt(2gLsin a) $

Ora dovrei confrontare le velocità, ma non saprei che conclusioni dare. La velocità con cui un grave cade è uguale a quella di un corpo che scende da un piano inclinato giusto ?! A me non sembrano per niente uguali...

[skyluke89]

ciao,
innanzitutto puoi osservare una cosa: nella seconda formula che hai scritto le unità di misura non tornano, perchè se le inserisci vedrai che non saltano fuori i secondi, quindi non può essere esatta.
Poi, sei sicuro che la prima formula sia il tempo di caduta del corpo sul piano inclinato? Dimmi i ragionamenti che hai fatto.

inoltre: a te interessano le velocità di caduta finali, non i tempi, giusto? In tal caso, potresti passare dalla conservazione dell'energia, per semplificarti la vita...

[Ghemon]

ciao,
innanzitutto puoi osservare una cosa: nella seconda formula che hai scritto le unità di misura non tornano, perchè se le inserisci vedrai che non saltano fuori i secondi, quindi non può essere esatta.
Poi, sei sicuro che la prima formula sia il tempo di caduta del corpo sul piano inclinato? Dimmi i ragionamenti che hai fatto.

Giusto, nella seconda formula la lunghezza viene divisa per g , non moltiplicata!
Il mio ragionamento è stato questo:
Considerando la velocità al tempo zero e lo spostamento al tempo zero =0 ho calcolato tramite la legge del moto il tempo, visto che la lunghezza del piano ( L ) è nota.

[skyluke89]

Il mio ragionamento è stato questo:
Considerando la velocità al tempo zero e lo spostamento al tempo zero =0 ho calcolato tramite la legge del moto il tempo, visto che la lunghezza del piano ( L ) è nota.

ok, però sei sicuro che l'accelerazione che subisce il corpo in caduta sul piano sia quella? prova a scrivere l'equazione del moto e dimmi cosa trovi

[Ghemon]

Il mio ragionamento è stato questo:
Considerando la velocità al tempo zero e lo spostamento al tempo zero =0 ho calcolato tramite la legge del moto il tempo, visto che la lunghezza del piano ( L ) è nota.

ok, però sei sicuro che l'accelerazione che subisce il corpo in caduta sul piano sia quella? prova a scrivere l'equazione del moto e dimmi cosa trovi

$ vec S(t) =vec So + vec Vo (t-t0)+ vec g /2 (t-t0)^(2) $

Quindi ponendo Vo=0, So=0 e to=0 avremo:

$ vec S(t) =vec g /2 t^(2) $

Da cui mi ricavo il tempo

[skyluke89]

ok, su questo son d'accordo; il moto però si sta svolgendo sul piano inclinato, quindi l'accelerazione che subisce il corpo sul piano inclinato non è g, ma è la sua componente proiettata sul piano, ovvero $ g*sin(a) $ ... ci sei?

capito questo, a te interessa comunque sapere le velocità finali nei 2 casi, quindi il tempo di caduta non ti serve per forza. Uguagliando l'energia potenziale del corpo all'inizio con l'energia cinetica che ha nell'istante in cui tocca terra, puoi ricavarti la velocità finale...

[Ghemon]

ok, su questo son d'accordo; il moto però si sta svolgendo sul piano inclinato, quindi l'accelerazione che subisce il corpo sul piano inclinato non è g, ma è la sua componente proiettata sul piano, ovvero $ g*sin(a) $ ... ci sei?

capito questo, a te interessa comunque sapere le velocità finali nei 2 casi, quindi il tempo di caduta non ti serve per forza. Uguagliando l'energia potenziale del corpo all'inizio con l'energia cinetica che ha nell'istante in cui tocca terra, puoi ricavarti la velocità finale...

Mi sono accorto dell'errore, grazie Il modo in cui ho trovato il tempo è comunque giusto ?

[skyluke89]

si, l'applicazione della formula era corretta. Quindi ricapitolando hai che il tempo che ci mette il corpo sul piano inclinato è $ t = sqrt(2Lsina / g ) $ , mentre per il corpo in caduta libera sarà $ t = sqrt(2L / gsina ) $ ; giustamente quello sul piano inclinato ci mette di più a cadere!

per quanto riguarda le velocità invece, hai capito come fare?

[Ghemon]

si, l'applicazione della formula era corretta. Quindi ricapitolando hai che il tempo che ci mette il corpo sul piano inclinato è $ t = sqrt(2Lsina / g ) $ , mentre per il corpo in caduta libera sarà $ t = sqrt(2L / gsina ) $ ; giustamente quello sul piano inclinato ci mette di più a cadere!

per quanto riguarda le velocità invece, hai capito come fare?

A questo punto dovrei calcolare la velocità del piano in funzione del tempo che ho trovato. Stessa cosa per il corpo in caduta. Il problema è che ora le due velocità non mi sembrano per niente uguali:

$ vec V(t) =vec (g)*sin a sqrt(2Lsina / g ) $

$ vec V(t) =vec (g) sqrt((2L) /(sinag) ) $

[skyluke89]

scusami, nel mio post precedente ho invertito le formule;

- il tempo di caduta per il corpo che cade dal piano inclinato è: $ t = sqrt(2L / gsina ) $
- il tempo di caduta del corpo 'libero' è: $ t = sqrt(2Lsina / g ) $

(ora infatti torna: il secondo ci mette di meno del primo, essendo moltiplicato per un numero tra 0 e 1!)

riprova ora ad applicare il tuo ultimo ragionamento, e vedrai che ora torna!