Problema con formule goniometriche

Messaggioda quanquo » 08/11/2009, 13:57

Ciao a tutti. Svolgendo degli esercizi in vista di un compito (martedì 10/11/09) mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a risolvere e in cui mi blocco dopo uno o due passaggi:

$ sen30°+sen40°+cos30°+cos40°=2rad2*cos10°*cos5° $

Il primo membro abbiamo iniziato a semplificarlo con l'uso delle formule di prostaferesi abbiamo ottenuto:

$ 2*cos(30+40)/2*cos(30-40)/2+2*sen(30+40)/2*cos(30-40)/2= $
$ 2 cos70/2*cos5+2*sen70/2*cos5= $
$ 2cos5(cos70/2+sen70/2)= $ ?????????

Da qui abbiamo provato a procedere con la bisezione ma senza ottenere alcun risultato. Successivamente, forse per disperazione, abbiamo provato ad applicare anche werner ed altre formule ma, anche questa volta, invano. Qualcuno riesce a spiegarmi come procedere?
Grazie in anticipo, saluti a tutti!
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Messaggioda quanquo » 08/11/2009, 14:32

Nel secondo membro ho scritto rad, avrei dovuto scrivere "radice di" ma non sapevo come scriverlo
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Messaggioda mathmum » 08/11/2009, 16:14

Prostaferesi va bene, ma scrivi i due membri:
ora hai:
$2cos35°*cos5° +2sen35°*cos5°=2sqrt(2)*cos10°*cos5°$ (a proposito, perchè hai scritto cos5 come risultato di cos(30-40) ? va bene, ma devi sapere il perchè...)

Ora puoi semplificare entrambi i membri per 2cos5; ottieni $cos35° +sen35°=sqrt(2)*cos10°$

Se consideri le relazioni relative agli archi associati, ti puoi accorgere ad esempio che $cos10°=sen80°$

Se riuscissi a scrivere il 1° membro come sen80° l'identità sarebbe dimostrata, no?

Ma 80° = 35° + 45° : prova a considerare le formule di somma e sottrazione e guardare il 1° membro... c'è una certa somiglianza con le formule di somma e sottrazione!

Se riesci a trovare il fattore corretto che moltiplica il 1° membro, sfruttando le formule di somma e sottrazione l'identità è dimostrata.

Per quale fattore bisogna moltiplicare il 1° membro e perchè?

Buon lavoro,
S.
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Messaggioda quanquo » 08/11/2009, 19:21

Dunque $cos(30-40)/2$ ho scritto 5 perchè $(30-40)/2$ fa -5. Ma il coseno di -5 è uguale al coseno di +5 quindi posso omettere il segno (con il coseno si può fare a differenza del seno).

Comunque ho capito il progedimento che mi hai suggerito ma non mi trovo nel punto il cui mi dici $cos10°=sen80°$
Personalmente non saprei come "intuiro" o, in ogni caso, come arrivarci. Premetto che non ci dovrei arrivare attraverso qualche tabella o a memoria perchè l'unica tabella consultabile (che devo comunque sapere a memoria) contiene i seni,i coseni e le tangenti di questi angoli: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Quindi quel passaggio non mi è molto chiaro.
Grazie mille di nuovo e spero di riuscire a vederci più chiaro.
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Messaggioda mathmum » 08/11/2009, 20:02

quanquo ha scritto:Dunque $cos(30-40)/2$ ho scritto 5 perchè $(30-40)/2$ fa -5. Ma il coseno di -5 è uguale al coseno di +5 quindi posso omettere il segno (con il coseno si può fare a differenza del seno).

perfetto !

quanquo ha scritto:Comunque ho capito il progedimento che mi hai suggerito ma non mi trovo nel punto il cui mi dici $cos10°=sen80°$

Archi associati: prova a disegnare la circonferenza goniometrica e traccia un angolino di 10°.
Poi traccia l'angolo di 80°: se guardi quest'ultimo è un "90°-10°": lo spicchietto di circonferenza in alto (la differenza tra 90° e 80°) è proprio uguale a quello dell'angolo di 10° gradi.
Quindi sen 10° = cos 80° e cos 10° = sen 80°

Ora è più chiaro?
Non posso postare grafici perchè sono su un laptop a-matematico :roll:

Ciao,
S.
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Messaggioda quanquo » 09/11/2009, 08:24

Grazie mille ora mi è più chiaro, dopo proverò. Ora vado a farmi le mie 6 ore giornaliere di scuola :-D Grazie mille!!!
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