Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda msc85 » 22/05/2012, 15:26

Salve! Vorrei un aiuto per risolvere questo problema.
Sia AB una corda di lunghezza 10 appartenente ad una circonferenza e CD un'altra corda della stessa circonferenza,ma di lunghezza 7. Si prolunghino AB e CD dalla parte di B e C in modo che si incontrino in P, che è all'esterno del cerchio. Calcola la misura del raggio della circonferenza, sapendo che l'angolo APD è 60° e BP misura 8.
Il risultato è $ sqrt(37) $
Grazie!!
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda giammaria » 22/05/2012, 21:26

Dopo 59 messaggi dovresti sapere che devi mandare un tentativo di soluzione.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda msc85 » 22/05/2012, 22:50

sono riuscita a trovare una soluzione solo dopo avere inviato il messaggio sul forum..però non mi spiego comunque questo:
la soluzione deriva dal fatto che il segmento che unisce A e D fa parte del triangolo rettangolo PAD..come faccio però a stabilire che l'angolo tra il segmento AD e quello PD è proprio di 90°? cioè arrivo alla soluzione assumendo che questo angolo sia di 90° ma non riesco a trovare un modo per dimostrarlo..
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda giammaria » 23/05/2012, 07:52

Difficile dimostrare una cosa non vera: a me risulta che è AC ad essere perpendicolare a PD (non avrai scambiato fra loro C e D?). Io non ho nemmeno usato la trigonometria ed ho iniziato col teorema delle due secanti: $PA*PB=PC*PD$.
La mia soluzione però è $r=sqrt 73$: non avrai scambiato le due cifre?
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda msc85 » 23/05/2012, 12:16

Come fa ad essere AC perpendicolare a PD? Il mio disegno mi sembra corretto e non ho invertito i dati. Tra l'altro è un problema che ho preso dalla sezione della trigonometria sui triangoli qualsiasi e quindi è pensato apposta per essere utilizzato con quei teoremi.
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda msc85 » 23/05/2012, 12:58

Non ci sto capendo più nulla sinceramente! Io ho trovato che quando PC è 2 AD forma 90 gradi in D. Il mio ragionamento è stato questo: se AD fosse perpendicolare a CD in D, allora AC sarebbe il diametro usando il teorema di Talete e ho provato a fare i calcoli e il raggio è corretto. Quindi ho pensato che mi mancasse qualche teorema o formula per capire se AD fosse effettivamente perpendicolare in D. Invece a quanto pare è tutto sbagliato il mio ragionamento?
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda giammaria » 23/05/2012, 13:30

Cerchiamo di capirci: io ho messo C fra P e D perché il testo diceva che CD era prolungata dalla parte di C. Poi ho usato il teorema delle due secanti, notando che $PA=10+8=18$ e ponendo $PC=x$. Ottengo
$18*8=x(x+7)=>x^2+7x-144=0$
la cui unica soluzione positiva è $PC=x=9$.
Noto ora che il triangolo PAC ha un angolo di 60° con adiacenti due lati che sono uno doppio dell'altro e quindi è la metà di un triangolo equilatero (si poteva arrivare alla stessa conclusione anche con la trigonometria e penso sia per questo che il testo lo considera un problema trigonometrico): ne consegue che gli angoli $hat C$ sono retti e che $AC=PC sqrt 3=9 sqrt 3$. AD è un diametro perché insistito da un angolo alla circonferenza retto e si ha

$AD^2=AC^2+CD^2=(9 sqrt 3)^2+7^2=292$

Quindi $r=(AD)/2=(sqrt 292)/2=( 2sqrt 73)/2=sqrt 73$
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda JoJo_90 » 23/05/2012, 15:00

Forse un'immagine può aiutare:

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Spero di aver capito bene.
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda msc85 » 23/05/2012, 20:14

Ringrazio entrambi!
Adesso è tutto chiaro. Purtroppo mi mancava il teorema delle secanti e quindi non sapevo proprio come iniziare il problema. In più il disegno che avevo fatto era impreciso e non mi ha aiutato nel ragionamento, è stato un caso che abbia trovato il risultato corretto. Jojo il tuo disegno è chiarissimo!
Ancora grazie del tempo che mi avete dedicato! A presto :)
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Re: Problema di trigonometria sui triangoli qualsiasi

Messaggioda JoJo_90 » 23/05/2012, 20:35

Prego anche se io ho solo disegnato quanto scritto da giammaria, quindi il merito è tutto suo.

Ciao :smt039
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