Problema di trigonometria

Messaggioda FrancescaRomana » 11/04/2012, 20:30

Non riesco a capire come posso risolvere questo problema.

In una circonferenza di diametro 2r è inscritto il triangolo APB con P appartenente al maggiore dei due archi AB e il cui lato AB è lungo 6/5r. Determinare la posizione del punto P in modo che la somma delle altezze relative ai lati AP e PB sia k volte la lunghezza del lato AB.

Sono arrivata a fare la figura e a posizionare la x. Ho trovato anche il lato HB=&/5r*senx. Ora però non riesco a trovare Ak :(

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Re: Problema di trigonometria

Messaggioda chiaraotta » 12/04/2012, 00:19

Non hai usato il fatto che l'angolo $AhatPB=gamma$ è costante. Dal teorema della corda puoi dire che
$AB=2rsin gamma->6/5r=2rsin gamma->sin gamma = 3/5$.
Inoltre $gamma$ è acuto e quindi
$cos gamma = + sqrt(1-sin^2 gamma)=4/5$.
A questo punto puoi notare che l'angolo
$AhatBP=pi-(x+gamma)$
e che dal teorema della corda puoi ricavare
$AP=2rsin[pi-(x+gamma)]=2rsin(x+gamma)=2r(sinx cos gamma+cosx sin gamma)=2/5r(4sinx+3cosx)$.
Inoltre
$AK=APsin gamma=2/5r(4sinx+3cosx)3/5=6/25r(4sinx+3cosx)$.
Allora l'equazione
$AK+BH=k6/5r$
diventa
$6/25r(4sinx+3cosx)+6/5rsinx=k6/5r->4/5sinx+3/5cosx+sinx=k->9/5sin x+3/5 cos x=k$,
con
$0<=x<=pi-gamma$.
chiaraotta
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