Problema su trapezio e circonferenza..

Messaggioda Blu » 05/03/2010, 21:10

spero possiate aiutarmi in questo problema:

Un trapezio $ABCD$ (non degenere), circoscritto a una semicirconferenza, ha la base maggiore $AB$ di misura $6$ e l'altezza di misura $x$. Determina, in funzione di $x$, la misura del segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui del trapezio. traccia il grafico della funzione ottenuta.

Vi prego, aiutatemi! Se mi spiegate come farlo, poi posso procedere anche da solo!
Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà!
Blu
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Messaggioda giammaria » 05/03/2010, 22:12

Nomi usati: ABCD è il trapezio, con la base maggiore AB sulla retta diametrale, O è il centro, T il punto di tangenza con CB, K la proiezione di O su CD.
Il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui è uguale alla semisomma delle basi, quindi ti basta calcolare CD. Puoi aiutarti con la trigonometria, ricordando che OC è bisettrice sia dell'intero angolo $\hatC$ che di $K \hatO T$ ed indicando con un'incognita ausiliaria un angolo, ad esempio $K \hatOC$. Oppure puoi usare il seguente teorema, poco noto ma non difficile da dimostrare: si ha OB=BC (e naturalmente OA=AD). Sia in un modo che nell'altro, non è difficile concludere.
Mi pare però che i dati del problema sia insufficienti, e il risultato dipenda dal fatto che il trapezio sia isoscele, rettangolo o altro. O non sarà stato inscritto nella semicirconferenza?
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Messaggioda salfor76 » 05/03/2010, 23:02

In effetti nel testo il trapezio viene descritto come circoscritto ad una semicirconferenza (e non inscritto), quindi la sua base
maggiore è più correttamante tangente alla semirconferenza, mentre è la base minore a stare sulla retta diametrale.
almeno credo, facendo un rapido disegno. comunque per trovare la misura del segmento descritto occorre conoscere
l'angolo formato tra la base AB e i lati obliqui. chiamato $\alpha$ quest angolo la lunghezza del segmento è dato, come
$ l = 6 - 2(x/2 \times cotg \alpha)$

ciao
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Messaggioda giammaria » 05/03/2010, 23:41

Non capisco come hai fatto il disegno. Io ho prolungato il diametro da tutte due le parti, e ho preso A su un prolungamento e B sull'altro, poi da A e da B ho tracciato le tangenti alla semicirconferenza e ho completato la figura tracciando la tangente parallela ad AB: AB risulta la base maggiore. In seguito parli di angolo fra una base e i lati obliqui, ma se il trapezio non è isoscele ogni lato obliquo forma un suo angolo con quella base.
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Messaggioda Blu » 06/03/2010, 18:14

grazie a tutti! ora ho capito..!
nuovamente grazie, buona serata!
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Messaggioda salfor76 » 08/03/2010, 11:39

Anch io nel disegno , ho prolungato il diametro da ambo le parti e dagli estremi A e B ho tracciato delle semirette .
poi tracciando la tangente alla semicirconferenza parallela ad AB ottieni che AB è la base minore, altrimenti le
semirette diventano secanti (controlla bene il disegno). Inoltre ho un dubbio sul fatto che le semirette sono tangenti
alla semicirconferenza, infatti se così fosse non si otterrebbe un trapezio, ma unj rettangolo.
Inoltre ho ipotizzato per semplicità che il trapezio fosse isoscele, anche se in caso di trapezio scaleno il problema è
analogo: basta considerare noti i due angoli che i lati obliqui formano con la base.

Buona giornata! :o
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Messaggioda giammaria » 08/03/2010, 15:27

Avrei voluto mandarti il mio disegno, ma con "inserimento immagine" arrivo fino a "caricamento riuscito" e poi non succede niente. Ho cercato le istruzioni e suppongo che ci siano, ma non le ho trovate. Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi.
Per ora, prova a fare questo disegno: traccia due rette orizzontali, distanti 4 fra loro: su una prendi un punto O, sull'altra la proiezione di O, che chiami K. Sulla prima retta prendi A e B, distanti 5 da O; sulla seconda prendi C e D, distanti 2 da K (D dalla parte di A). Il trapezio isoscele ABCD risulta circoscritto alla semicirconferenza di centro O passante per K.
Dissento vivamente dal tuo "basta considerare noti i due angoli che i lati obliqui formano con la base": in un problema, si possono considerare noti solo i dati forniti dal problema, senza inventarne altri; nel tuo caso, i dati forniti sono insufficienti per una soluzione completa.
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Messaggioda salfor76 » 08/03/2010, 18:06

Scusami ma rimango dubbioso sulla correttezza del tuo disegno, in quanto ribadisco che il testo dice che il trapezio è
circoscritto alla semicirconferenza.
inoltre so bene che l'angolo non è fra i dati, ma mi sembra necessario come dato (forse Blu lo ha dimenticato).

Ad ogni modo vedrò di ricontrollare il mio metodo di risoluzione!

Buon pomeriggio! :wink:
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Messaggioda giammaria » 08/03/2010, 19:44

salfor76 ha scritto:Scusami ma rimango dubbioso sulla correttezza del tuo disegno, in quanto ribadisco che il testo dice che il trapezio è
circoscritto alla semicirconferenza.
E il mio lo è, avendo tre lati tangenti alla semicirconferenza e il quarto sul diametro.
inoltre so bene che l'angolo non è fra i dati, ma mi sembra necessario come dato
Se il trapezio è isoscele o rettangolo, no: i dati forniti diventano sufficienti. Per convincertene, ti do la soluzione nel caso di trapezio isoscele (ovviamente mi riferisco alla mia figura; se ti è difficile visualizarla, osserva quella descritta nel mio ultimo intervento ed indica con T il punto di tangenza con BC)).
Tracciata l'altezza CH, dimostro l'uguaglianza dei triangoli CHB e OTB e ne deduco CB=OB=3. Poichè CH=x, $HB=sqrt(9-x^2)$. Essendo poi CD=AB-2HB, la distanza voluta, semisomma di AB e CD, è
$MN=[6+(6-2HB)]/2=6-HB=6-sqrt(9-x^2)$
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Messaggioda salfor76 » 08/03/2010, 21:36

Ho ricontrollato!
in effetti hai proprio ragione tu. con la tua risoluzione i dati forniti risultano proprio
sufficienti alla risoluzione.
Buona serata!
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