Problema sui triangoli qualsiasi: Teorema dei seni

Messaggioda nexs » 29/04/2012, 11:26

C'è qualcuno che può aiutarmi con questo problema?
Sia AOB un settore circolare di centro O, di raggio $ bar(AO) $ = $ bar(OB) $ = r e di ampiezza 120°. Determinare sull'arco AB un punto P tale che detta H la proiezione di P sulla corda AB sia $ bar(AH)+ 3bar(BH) =((2sqrt(3)+1))r $ .
Io ho svolto il problema in questo modo:

$ bar(AB) = 2r *sin gamma = 2r * sqrt(3) /2 = sqrt(3)r $

$ cos $ alfa $=((AO^2+ AB^2-OB^2 ))/(2AO*OB)=(3r^2)/(2sqrt(3) r^2 )=sqrt(3) /2 $

Quindi trovo che α = 30° e $ beta $ = 30°

Ora come si risolve?
nexs
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Re: Problema sui triangoli qualsiasi: Teorema dei seni

Messaggioda chiaraotta » 29/04/2012, 17:14

Non mi è chiaro perché vuoi calcolare anche gli altri angoli del triangolo $AOB$. Eventualmente forse sarebbe stato più semplice notare che si tratta di un triangolo isoscele di base $AB$ e che quindi $hatA=hatB=1/2(180°-120°)=30°$.

Per risolvere il problema mi sembra che si potrebbe ragionare così ....

Intanto, poiché

$AB=r sqrt(3)$

e

$BH = AB - AH$,

l'equazione

$AH + 3 BH=(2sqrt(3)+1)r$

si può riscrivere come

$AH + 3(AB - AH)=(2sqrt(3) + 1)r->-2 AH=(-3 sqrt(3)+2 sqrt(3)+1)r->AH=1/2 r (sqrt(3) - 1)$.


Se si indica con $2x$ l'angolo

$BhatOP$ ($0°<=2x<=120°$),

si ha che

$PhatOA=120°-2x$

e

$BhatAP=x$ (angolo alla circonferenza che insiste sull'arco $BP$).

A questo punto si può dire che

$AP=2rsin((PhatOA)/2)=2rsin(60°-x)$ (teorema della corda)

e

$AH=APcos(x)=2rsin(60°-x)cos(x)=2r[sin(60°)cos(x)-cos(60°)sin(x)]cos(x)=$
$2r[sqrt(3)/2 cos(x) -1/2 sin(x)]cos(x)=r[sqrt(3)cos^2(x)-sin(x)cos(x)]$.


Poiché

$cos(2x)=1-2cos^2(x)$,

allora

$cos^2(x)=(1-cos(2x))/2->sqrt(3)cos^2(x)=sqrt(3)/2[1-cos(2x)]$.

E poiché

$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$,

allora

$sin(x)cos(x)=1/2 sin(2x)$.


Perciò si può riscrivere $AH$ come

$AH=r[sqrt(3)/2(1-cos(2x)) - 1/2 sin(2x)]=1/2 r[sqrt(3) - sin(2x) - sqrt(3)cos(2x)]=$
$1/2 r[sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)]$.


Quindi l'equazione

$AH=1/2 r (sqrt(3) - 1)$

diventa

$1/2 r[sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)]=1/2 r (sqrt(3) - 1)->sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)=sqrt(3) - 1->sin(2x+pi/3)=1/2$.


Dunque deve essere

$2x+pi/3=pi/6->2x=-pi/6$,

che non è accettabile, o

$2x+pi/3=5/6 pi->2x=pi/2->x=pi/4$

che è accettabile.
chiaraotta
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Re: Problema sui triangoli qualsiasi: Teorema dei seni

Messaggioda nexs » 30/04/2012, 12:25

Grazie :wink:
nexs
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