da chiaraotta » 29/04/2012, 16:14
Non mi è chiaro perché vuoi calcolare anche gli altri angoli del triangolo $AOB$. Eventualmente forse sarebbe stato più semplice notare che si tratta di un triangolo isoscele di base $AB$ e che quindi $hatA=hatB=1/2(180°-120°)=30°$.
Per risolvere il problema mi sembra che si potrebbe ragionare così ....
Intanto, poiché
$AB=r sqrt(3)$
e
$BH = AB - AH$,
l'equazione
$AH + 3 BH=(2sqrt(3)+1)r$
si può riscrivere come
$AH + 3(AB - AH)=(2sqrt(3) + 1)r->-2 AH=(-3 sqrt(3)+2 sqrt(3)+1)r->AH=1/2 r (sqrt(3) - 1)$.
Se si indica con $2x$ l'angolo
$BhatOP$ ($0°<=2x<=120°$),
si ha che
$PhatOA=120°-2x$
e
$BhatAP=x$ (angolo alla circonferenza che insiste sull'arco $BP$).
A questo punto si può dire che
$AP=2rsin((PhatOA)/2)=2rsin(60°-x)$ (teorema della corda)
e
$AH=APcos(x)=2rsin(60°-x)cos(x)=2r[sin(60°)cos(x)-cos(60°)sin(x)]cos(x)=$
$2r[sqrt(3)/2 cos(x) -1/2 sin(x)]cos(x)=r[sqrt(3)cos^2(x)-sin(x)cos(x)]$.
Poiché
$cos(2x)=1-2cos^2(x)$,
allora
$cos^2(x)=(1-cos(2x))/2->sqrt(3)cos^2(x)=sqrt(3)/2[1-cos(2x)]$.
E poiché
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$,
allora
$sin(x)cos(x)=1/2 sin(2x)$.
Perciò si può riscrivere $AH$ come
$AH=r[sqrt(3)/2(1-cos(2x)) - 1/2 sin(2x)]=1/2 r[sqrt(3) - sin(2x) - sqrt(3)cos(2x)]=$
$1/2 r[sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)]$.
Quindi l'equazione
$AH=1/2 r (sqrt(3) - 1)$
diventa
$1/2 r[sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)]=1/2 r (sqrt(3) - 1)->sqrt(3)-2sin(2x+pi/3)=sqrt(3) - 1->sin(2x+pi/3)=1/2$.
Dunque deve essere
$2x+pi/3=pi/6->2x=-pi/6$,
che non è accettabile, o
$2x+pi/3=5/6 pi->2x=pi/2->x=pi/4$
che è accettabile.