problema trigonometrico

Messaggioda gabriello47 » 13/01/2010, 12:19

Di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza è nota la relazione:
$2b+h=(3+4sqrt(3))*r/2)
e si chiede il coseno dell'angolo al vertice.

Ho dunque 3 incognite: b, h, e l'angolo e una sola relazione. Utilizzando il secondo di euclide ottengo un sistema di 2° grado in b e h con calcoli pazzeschi (e mi viene il delta negativo).
Col teorema della corda e quello dei seni mi trovo da risolvere un'equazione complicatissima.
Chiedo a lorsignori se c'è una via semplice (almeno un po' più semplice di quelle accennate) per risolvere il problema.
grazie
gabriello47
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Messaggioda misanino » 13/01/2010, 12:57

Sì.
C'è un modo molto molto più veloce.
(Fai il disegno mentre ora ti do le indicazioni)
Chiamiamo $x$ l'angolo al vertice del triangolo isoscele $ABC$ di base $AB$ (=$b$) , cioè l'angolo in C.
Vogliamo quindi trovare il valore di $x$.
Considera l'angolo al centro relativo a tale angolo in C, cioè l'angolo che ottieni unendo il centro della circonferenza con A e con B.
Sai che l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza e quindi tale angolo al centro è $2x$ e quindi la sua metà è $x$.
Chiamiamo $H$ il punto di intersezione dell'altezza $AC$ con la base $AB$.
Considera il triangolo $HOB$ con $O$ centro della circonferenza.
L'angolo in O è proprio la metà dell'angolo al centro di prima e quindi vale $x$.
Il triangolo $HOB$ è rettangolo e ha per ipotenusa $r$, per base $b/2$ e per altezza $h-r$.
Sfruttando la trigonometria allora hai che:
$h-r=r*cos(x)$ e quindi $h=r+r*cos(x)$
$b/2=r*sen(x)$ e quindi $2b=4*b/2=4r*sen(x)$

Sostituisco ciò nel dato del problema e ho:
$4r*sen(x)+r+r*cos(x)=(3+4sqrt(3))*r/2$
Posso semplificare $r$ da entrambe le parti e ho
$4sen(x)+1+cos(x)=(3+4sqrt(3))/2$
e quindi
$4sen(x)+1+cos(x)=3/2+4sqrt(3)/2$
e quindi
$1+cos(x)+4sen(x)=1+1/2+4sqrt(3)/2$

Ti basta quindi trovare $x$ tale che:
$cos(x)=1/2$
$sen(x)=sqrt(3)/2$
Perciò banalmente $x=\pi/3$ o se preferisci $x=60°$
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misanino
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Messaggioda gabriello47 » 13/01/2010, 15:00

grazie misanino. Semplice e geniale
gabriello47
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