Significato geometrico teorema di Cauchy?

[billytalentitalianfan]

Premetto che frequento il quinto anno di un liceo scientifico e tale significato non è presente sul libro di testo; che non sia comprensibile ad uno studente del quinto anno?

[ViciousGoblin]

Devo confessare che non l'ho mai trovato (dopo $n$ anni, con $n$ abbastanza grande). Direi che il teorema di Cauchy e' una generalizzazione
"algebrica" del teorema di Lagrange (che quello si' ha un bel significato geometrico). Questo per tranquillizzarti - ma magari qualcuno un significato
geometrico lo conosce.

[GPaolo]

Prendi separatamente le due funzioni; i punti "a" e "b" sono punti dell'asse "x" comuni ad entrambe le funzioni; scrivi $f'(c)=(f(b)-f(a))/((b-a))$; per il teorema di Lagrange sai che questo "coefficiente angolare" è quello della retta parallela tangente la funzione alla retta passante per i punti "a" e "b". Stessa caratteristica per la funzione $g(x)$ negli stessi due punti "a" e "b"; possiamo, perciò, scrivere: $g'(c)=(g(b)-g(a))/((b-a))$. L'uguaglianza $(f'(c))/(g'(c))=((f(b)-f(a))/((b-a)))/((g(b)-g(a))/((b-a)))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$ dice, pertanto, che il rapporto tra le rette passanti per i punti "a" e "b" delle due funzioni è uguale al rapporto tra le parallele a tali rette tangenti alla funzioni in un punto "c" dell'asse x.

[billytalentitalianfan]

Wow, grazie!

[GPaolo]

Prego.

[Fillaca]

Secondo me nella spiegazione c'è un errore. Se è vero che il rapporto delle derivate in un punto è uguale al rapporto delle differenze delle funzioni NON è assolutamente vero che è conseguenza del teorema di Lagrange. Il punto c di f(x) e di g(x) per cui è verificato il teorema di Lagrange NON è lo stesso per le due funzioni

[Bad90]

Seguite questo link: http://www.ripmat.it/mate/c/cf/cfec.html
Oppure questo link: http://www.youmath.it/lezioni/analisi-m ... range.html

[ViciousGoblin]

Secondo me nella spiegazione c'è un errore. Se è vero che il rapporto delle derivate in un punto è uguale al rapporto delle differenze delle funzioni NON è assolutamente vero che è conseguenza del teorema di Lagrange. Il punto c di f(x) e di g(x) per cui è verificato il teorema di Lagrange NON è lo stesso per le due funzioni

Se ti riferisci al messaggio sopra (di GPaolo) hai ragione, il punto $c$ per cui vale Lagrange per $f$ è diverso da quello per cui vale Lagrange per $g$. Continuo dunque a non vedere una chiara interpretazione geometrica di Cauchy...

E' invece vero che Cauchy è una conseguenza di Lagrage, anzi di Rolle (usando una opportuna funzione ausiliaria ottenuta come combinazione lineare di $f$ e $g$) e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.

[Bad90]

.... e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.

Più che altro direi che si ha Rolle, poi una conseguenza è Counchy e poi una conseguenza ancora è Lagrange!

P.S. Aspettiamo una conferma in merito, ma penso che sia proprio così

[ViciousGoblin]

.... e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.

Più che altro direi che si ha Rolle, poi una conseguenza è Counchy e poi una conseguenza ancora è Lagrange!

e quindi i tre teoremi sono tutti equivalenti tra loro ....
(nel senso che se se ne suppone vero uno qualunque tra i tre, allora gli altri due seguono).